Упр.24.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 24.23. Последовательность задана рекуррентно: a_1=1, a_(n+1)=a_n+8n. Докажите, что любой член этой последовательности является квадратом натурального числа.

Докажем по индукции, что для любого натурального $$n$$ выполняется

$$a_n=(2n-1)^2.$$

Проверим несколько первых членов последовательности:

$$a_1=1=(2\cdot 1-1)^2,$$

$$a_2=a_1+8\cdot 1=1+8=9=(2\cdot 2-1)^2,$$

$$a_3=a_2+8\cdot 2=9+16=25=(2\cdot 3-1)^2.$$

Предположим, что для некоторого $$n$$ верно:

$$a_n=(2n-1)^2.$$

Тогда

$$ a_{n+1}=a_n+8n=(2n-1)^2+8n=4n^2-4n+1+8n=4n^2+4n+1=(2n+1)^2. $$

Но $$2n+1=2(n+1)-1$$, значит

$$a_{n+1}=(2(n+1)-1)^2.$$

Следовательно, если утверждение верно для $$n$$, то оно верно и для $$n+1$$. Так как оно верно для $$n=1$$, то по индукции получаем, что для любого натурального $$n$$

$$a_n=(2n-1)^2.$$

Ответ

$$a_n=(2n-1)^2$$, значит любой член последовательности является квадратом натурального числа.