Упр.24.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) a_1=1, a_(n+1)=2a_n+1; 3) a_1=0, a_(n+1)=a_n+2v(a_n+1)+1.
2) a_1=1/2, a_(n+1)=1/(2-a_n);

1. Проверим несколько первых членов последовательности:

   $$a_1=1=2^1-1,$$

   $$a_2=2a_1+1=2\cdot 1+1=3=2^2-1,$$

   $$a_3=2a_2+1=2\cdot 3+1=7=2^3-1.$$

   Предположим, что $$a_n=2^n-1.$$ Тогда

   $$a_{n+1}=2a_n+1=2(2^n-1)+1=2^{n+1}-1.$$

   Значит,

   $$a_n=2^n-1.$$

2. Проверим первые члены:

   $$a_1=\frac12=\frac{1}{1+1},$$

   $$a_2=\frac{1}{2-a_1}=\frac{1}{2-\frac12}=\frac{2}{3}=\frac{2}{2+1},$$

   $$a_3=\frac{1}{2-a_2}=\frac{1}{2-\frac23}=\frac{3}{4}=\frac{3}{3+1}.$$

   Предположим, что $$a_n=\frac{n}{n+1}.$$ Тогда

   $$a_{n+1}=\frac{1}{2-a_n}=\frac{1}{2-\frac{n}{n+1}}=\frac{1}{\frac{2(n+1)-n}{n+1}}=\frac{n+1}{n+2}.$$

   Следовательно,

   $$a_n=\frac{n}{n+1}.$$

3. Проверим первые члены:

   $$a_1=0=1^2-1,$$

   $$a_2=0+2\sqrt{0+1}+1=3=2^2-1,$$

   $$a_3=3+2\sqrt{3+1}+1=8=3^2-1.$$

   Предположим, что $$a_n=n^2-1.$$ Тогда

   $$a_{n+1}=a_n+2\sqrt{a_n+1}+1=(n^2-1)+2\sqrt{n^2}+1.$$

   Так как $$n\ge 1,$$ то $$\sqrt{n^2}=n,$$ и получаем

   $$a_{n+1}=n^2+2n=(n+1)^2-1.$$

   Значит,

   $$a_n=n^2-1.$$

Ответ

1) $$a_n=2^n-1$$; 2) $$a_n=\frac{n}{n+1}$$; 3) $$a_n=n^2-1$$.