Упр.24.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Последовательность задана рекуррентно: $$a_1=4$$, $$a_{n+1}=2a_n-3$$. Докажите, что $$a_n=2^{n-1}+3$$.

Докажем формулу $$a_n=2^{n-1}+3$$ методом математической индукции.

1) База индукции. При $$n=1$$ имеем:

$$a_1=4=1+3=2^0+3=2^{1-1}+3.$$

Формула верна для $$n=1$$.

2) Индукционный переход. Предположим, что для некоторого $$n$$ верно:

$$a_n=2^{n-1}+3.$$

Тогда по рекуррентной формуле

$$a_{n+1}=2a_n-3=2(2^{n-1}+3)-3=2^n+6-3=2^n+3.$$

Так как $$2^n=2^{(n+1)-1}$$, получаем:

$$a_{n+1}=2^{(n+1)-1}+3.$$

Следовательно, если формула верна для $$n$$, то она верна и для $$n+1$$.

По принципу математической индукции для всех натуральных $$n$$ выполняется:

$$a_n=2^{n-1}+3.$$

Ответ

$$a_n=2^{n-1}+3.$$