Упр.24.20 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Последовательность задана рекуррентно: $$a_1=7$$, $$a_2=29$$, $$a_{n+2}=7a_{n+1}-10a_n$$. Докажите, что $$a_n=2^n+5^n$$.

Проверим первые члены последовательности:

$$a_1=7=2+5=2^1+5^1,$$

$$a_2=29=4+25=2^2+5^2.$$

Теперь предположим, что для некоторого $$n$$ выполняется

$$a_n=2^n+5^n,\qquad a_{n+1}=2^{n+1}+5^{n+1}.$$

Тогда по рекуррентной формуле

$$\begin{aligned} a_{n+2} &= 7a_{n+1}-10a_n \\ &= 7(2^{n+1}+5^{n+1})-10(2^n+5^n) \\ &= 14\cdot 2^n+35\cdot 5^n-10\cdot 2^n-10\cdot 5^n \\ &= 4\cdot 2^n+25\cdot 5^n \\ &= 2^{n+2}+5^{n+2}. \end{aligned}$$

Значит, если формула верна для $$a_n$$ и $$a_{n+1}$$, то она верна и для $$a_{n+2}$$. Следовательно, по индукции для всех $$n\ge 1$$

$$a_n=2^n+5^n.$$

Ответ

$$a_n=2^n+5^n.$$