Упр.24.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Последовательность задана рекуррентно: $$a_1=1$$, $$a_{n+1}=(a_1)^2+(a_2)^2+\ldots+(a_n)^2+n$$. Докажите, что в этой последовательности все члены, кроме первого, не являются квадратами натуральных чисел.

Докажем по индукции, что при всех $$n \ge 2$$ число $$a_n$$ не является квадратом натурального числа.

Сначала найдём связь между соседними членами последовательности:

$$a_{n+2}=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2+a_{n+1}^2+(n+1).$$

Но по условию

$$a_{n+1}=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2+n,$$

значит,

$$a_{n+2}=a_{n+1}+a_{n+1}^2+1.$$

Тогда для любого $$n \ge 1$$ имеем:

$$a_{n+1}^2

поскольку

$$(a_{n+1}+1)^2=a_{n+1}^2+2a_{n+1}+1$$

и $$a_{n+1}>0$$.

Следовательно, число $$a_{n+2}$$ лежит строго между двумя соседними квадратами натуральных чисел $$a_{n+1}^2$$ и $$(a_{n+1}+1)^2$$, а значит, само квадратом натурального числа не является.

Так как это верно для любого $$n \ge 1$$, то все члены последовательности, кроме первого, не являются квадратами натуральных чисел.

Ответ

Все члены последовательности $$a_n$$, начиная со второго, не являются квадратами натуральных чисел.