Упр.24.19 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 24.19. Последовательность задана рекуррентно: a_1=8, a_(n+1)=7a_n-6. Докажите, что все члены этой последовательности при делении на 3 дают в остатке 2.

Докажем утверждение методом математической индукции.

1) При $$n=1$$ имеем:

$$a_1=8=3\cdot 2+2.$$

Значит, при делении на $$3$$ первый член последовательности даёт остаток $$2$$.

2) Предположим, что для некоторого $$n$$ выполняется:

$$a_n=3k+2,$$

где $$k$$ — целое число.

Тогда

$$ a_{n+1}=7a_n-6=7(3k+2)-6=21k+14-6=21k+8. $$

Преобразуем:

$$ 21k+8=3(7k+2)+2. $$

Следовательно, $$a_{n+1}$$ при делении на $$3$$ также даёт остаток $$2$$.

Итак, если утверждение верно для $$a_n$$, то оно верно и для $$a_{n+1}$$. Так как оно верно для $$a_1$$, то по индукции оно верно для всех членов последовательности.

Ответ

Все члены последовательности при делении на $$3$$ дают в остатке $$2$$.