Упр.24.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Последовательность задана рекуррентно: $$a_1=5,\quad a_{n+1}=4a_n-3$$. Докажите, что все члены этой последовательности с нечётными номерами делятся нацело на 5.

Докажем по индукции, что все члены последовательности с нечётными номерами делятся нацело на $$5$$.

Пусть $$a_1=5$$, тогда $$a_1$$ делится на $$5$$.

Предположим, что для некоторого $$n$$ нечётный член последовательности делится на $$5$$, то есть

$$a_n=5k$$

для некоторого целого $$k$$. Тогда

$$a_{n+2}=4a_{n+1}-3=4(4a_n-3)-3=16a_n-15.$$

Подставим $$a_n=5k$$:

$$a_{n+2}=16\cdot 5k-15=5(16k-3).$$

Значит, $$a_{n+2}$$ тоже делится на $$5$$.

Следовательно, если первый нечётный член делится на $$5$$, то и следующий нечётный член делится на $$5$$. Так как $$a_1$$ делится на $$5$$, то все члены последовательности с нечётными номерами делятся нацело на $$5$$.

Ответ

Все члены последовательности с нечётными номерами делятся нацело на $$5$$.