Упр.24.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Найдите сто первый член последовательности, если $$a_1=1$$, $$a_2=2$$, $$a_{n+2}=\frac{a_{n+1}}{a_n}$$.

Вычислим несколько первых членов последовательности:

$$a_1=1,\quad a_2=2,$$
$$a_3=\frac{a_2}{a_1}=\frac{2}{1}=2,$$
$$a_4=\frac{a_3}{a_2}=\frac{2}{2}=1,$$
$$a_5=\frac{a_4}{a_3}=\frac{1}{2},$$
$$a_6=\frac{a_5}{a_4}=\frac{\frac12}{1}=\frac12,$$
$$a_7=\frac{a_6}{a_5}=\frac{\frac12}{\frac12}=1.$$

Получили повторение значений: $$1,\ 2,\ 2,\ 1,\ \frac12,\ \frac12,\ 1,\dots$$

Значит, последовательность периодична с периодом 6, поэтому

$$a_{101}=a_{5}.$$

Найдём $$a_5$$:

$$a_5=\frac{a_4}{a_3}=\frac{1}{2}.$$

Ответ

$$\frac{1}{2}$$