Упр.24.12 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Последовательность $$(a_n)$$ задана формулой $$n$$-го члена. Задайте её рекуррентно:

1. $$a_n=2n-3$$;
2. $$a_n=\frac{n}{n+2}$$;
3. $$a_n=n^2$$.

1. $$a_n=2n-3$$

   Найдём первый член последовательности:

   $$a_1=2\cdot 1-3=-1$$

   Выразим следующий член через предыдущий:

   $$a_{n+1}=2(n+1)-3=2n-1=(2n-3)+2=a_n+2$$

   Значит, рекуррентная формула:

   $$a_1=-1,\quad a_{n+1}=a_n+2$$

2. $$a_n=\frac{n}{n+2}$$

   Найдём первый член последовательности:

   $$a_1=\frac{1}{1+2}=\frac13$$

   Выразим $$n$$ через $$a_n$$:

   $$a_n=\frac{n}{n+2} \Rightarrow a_n(n+2)=n \Rightarrow n(a_n-1)=-2a_n$$

   $$n=\frac{2a_n}{1-a_n}$$

   Тогда

   $$a_{n+1}=\frac{n+1}{n+3}$$

   Подставим вместо $$n$$ выражение через $$a_n$$:

   $$a_{n+1}=\frac{\frac{2a_n}{1-a_n}+1}{\frac{2a_n}{1-a_n}+3} =\frac{\frac{a_n+1}{1-a_n}}{\frac{3-a_n}{1-a_n}} =\frac{a_n+1}{3-a_n}$$

   Значит, рекуррентная формула:

   $$a_1=\frac13,\quad a_{n+1}=\frac{a_n+1}{3-a_n}$$

3. $$a_n=n^2$$

   Найдём первый член последовательности:

   $$a_1=1^2=1$$

   Тогда

   $$a_{n+1}=(n+1)^2$$

   Так как $$n=\sqrt{a_n}$$, получаем:

   $$a_{n+1}=(\sqrt{a_n}+1)^2$$

   Значит, рекуррентная формула:

   $$a_1=1,\quad a_{n+1}=(\sqrt{a_n}+1)^2$$

Ответ

1) $$a_1=-1,\ a_{n+1}=a_n+2$$;

2) $$a_1=\frac13,\ a_{n+1}=\frac{a_n+1}{3-a_n}$$;

3) $$a_1=1,\ a_{n+1}=(\sqrt{a_n}+1)^2$$.