Упр.24.10 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Подберите одну из возможных формул $$n$$-го члена последовательности, первыми членами которой являются числа:
   1) $$2, 9, 28, 65, 126, \ldots$$;
   3) $$1, 2, \frac{1}{3}, 4, \frac{1}{5}, 6, \frac{1}{7}, \ldots$$;
   2) $$\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}, \ldots$$;
   4) $$-1, 1, 3, 3, 3, \ldots$$.

1. Заметим, что

   $$2=1^3+1,\quad 9=2^3+1,\quad 28=3^3+1,\quad 65=4^3+1,\quad 126=5^3+1.$$

   Значит, одна из возможных формул:

   $$a_n=n^3+1.$$

2. Преобразуем члены последовательности:

   $$\frac12=\frac1{1\cdot2},\quad \frac16=\frac1{2\cdot3},\quad \frac1{12}=\frac1{3\cdot4},\quad \frac1{20}=\frac1{4\cdot5},\quad \frac1{30}=\frac1{5\cdot6}.$$

   Тогда общий член можно записать так:

   $$a_n=\frac1{n(n+1)}.$$

3. Последовательность можно представить в виде:

   $$1=1^{-1},\quad 2=2^1,\quad \frac13=3^{-1},\quad 4=4^1,\quad \frac15=5^{-1},\quad 6=6^1,\quad \frac17=7^{-1},\dots$$

   Здесь члены с нечётными номерами равны $$\frac1n$$, а с чётными — $$n$$. Это удобно записать одной формулой:

   $$a_n=n^{(-1)^n}.$$

4. Проверим первые члены:

   $$1-2=-1,\quad 2-1=1,\quad 3-0=3,\quad 4-1=3,\quad 5-2=3,\dots$$

   Значит, подходит формула

   $$a_n=n-|n-3|.$$

Ответ

1) $$a_n=n^3+1$$; 2) $$a_n=\frac1{n(n+1)}$$; 3) $$a_n=n^{(-1)^n}$$; 4) $$a_n=n-|n-3|$$.