Упр.23.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 23.35. Докажите, что не существует такого натурального числа p, для которого числа p+5 и p+10 являются простыми.

Предположим, что существует натуральное число $$p,$$ для которого числа $$p+5$$ и $$p+10$$ простые.

Рассмотрим возможные случаи.

1. Если $$p$$ — чётное число, то числа $$p+5$$ и $$p+10$$ имеют разную чётность: одно из них чётное, другое нечётное. Но простое чётное число только одно — $$2$$. Тогда для простоты чётного числа должно быть

   $$p+10=2 \quad \text{или} \quad p+5=2.$$

   Отсюда

   $$p=-8 \quad \text{или} \quad p=-3,$$

   что невозможно, так как $$p \in \mathbb{N}.$$

2. Если $$p$$ — нечётное число, то числа $$p+5$$ и $$p+10$$ снова имеют разную чётность: теперь $$p+5$$ — чётное число. Чтобы оно было простым, нужно

   $$p+5=2,$$

   откуда

   $$p=-3,$$

   что также невозможно, так как $$p \in \mathbb{N}.$$

Во всех случаях получаем противоречие. Значит, не существует натурального числа $$p,$$ для которого числа $$p+5$$ и $$p+10$$ являются простыми.

Ответ

Такого натурального числа $$p$$ не существует.