Упр.23.34 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Существуют ли такие натуральные числа $$n$$ и $$k$$, что значение выражения $$5^n+1$$ кратно значению выражения $$5^k-1$$?

Рассмотрим числа $$5^n+1$$ и $$5^k-1$$.

Проверим делимость на $$4$$:

$$5^n \equiv 1 \pmod{4},$$
так как число $$5$$ при делении на $$4$$ даёт остаток $$1$$.

Тогда

$$5^n+1 \equiv 1+1 \equiv 2 \pmod{4},$$
то есть число $$5^n+1$$ на $$4$$ не делится.

С другой стороны,

$$5^k-1 \equiv 1-1 \equiv 0 \pmod{4},$$
значит, число $$5^k-1$$ делится на $$4$$.

Если бы $$5^n+1$$ было кратно $$5^k-1$$, то оно должно было бы делиться и на $$4$$, но это не так. Следовательно, таких натуральных чисел $$n$$ и $$k$$ не существует.

Ответ

Нет.