Упр.23.32 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 23.32. Упростите выражение a^0,2+a^0,5+a^0,8+a^1,1+…+a^7,1.

Рассмотрим сумму

$$S=a^{0,2}+a^{0,5}+a^{0,8}+a^{1,1}+\dots+a^{7,1}.$$

1) Если $$a=1$$, то каждое слагаемое равно $$1$$. Тогда это сумма арифметической прогрессии из членов с первым членом $$1$$, последним членом $$1$$ и разностью $$0,3$$ по показателям:

$$S=1+1+1+\dots+1.$$

Число слагаемых:

$$n=\frac{7,1-0,2}{0,3}+1=\frac{6,9}{0,3}+1=23+1=24.$$

Значит, при $$a=1$$ получаем $$S=24$$.

2) Если $$a\ne 1$$, вынесем из суммы множитель $$a^{-0,3}$$:

$$S=a^{-0,3}\left(a^{0,5}+a^{0,8}+a^{1,1}+\dots+a^{7,4}\right).$$

Но

$$a^{-0,3}S=a^{0,2}+a^{0,5}+a^{0,8}+\dots+a^{7,1}.$$

Вычтем из этого равенства исходную сумму:

$$a^{-0,3}S-S=a^{7,4}-a^{0,2}.$$

Тогда

$$S(a^{-0,3}-1)=a^{7,4}-a^{0,2}.$$

Отсюда

$$S=\frac{a^{7,4}-a^{0,2}}{a^{0,3}-1}.$$

При этом нужно учитывать, что выражение определено при $$a>0$$, $$a\ne 1$$.

Ответ

$$24,\ \text{если } a=1;\qquad \frac{a^{7,4}-a^{0,2}}{a^{0,3}-1},\ \text{если } a>0,\ a\ne 1.$$