Упр.23.30 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
- Упростите выражение:
1) $$\frac{x-y}{x^{\frac{3}{4}}+x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}}}\cdot\frac{x^{\frac{1}{2}}y^{\frac{1}{4}}+x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}}\cdot\frac{x^{\frac{1}{4}}y^{-\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}-2x^{\frac{1}{4}}y^{\frac{1}{4}}+y^{\frac{1}{2}}};$$
2) $$\frac{m^{\frac{4}{3}}-27m^{\frac{1}{3}}n}{m^{\frac{2}{3}}+3(mn)^{\frac{1}{3}}+9n^{\frac{2}{3}}}:\left(1-3\left(\frac{n}{m}\right)^{\frac{1}{3}}\right)-(m^2)^{\frac{1}{3}}.$$
$$\frac{x-y}{x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}}\cdot\frac{x^{1/2}y^{1/4}+x^{1/4}y^{1/2}}{x^{1/2}+y^{1/2}}\cdot\frac{x^{1/4}y^{-1/4}}{x^{1/2}-2x^{1/4}y^{1/4}+y^{1/2}}$$
Представим выражения в знаменателях в виде произведений:
$$x^{3/4}+x^{1/2}y^{1/4}=x^{1/2}\left(x^{1/4}+y^{1/4}\right),$$
$$x^{1/2}y^{1/4}+x^{1/4}y^{1/2}=x^{1/4}y^{1/4}\left(x^{1/4}+y^{1/4}\right),$$
$$x^{1/2}-2x^{1/4}y^{1/4}+y^{1/2}=\left(x^{1/4}-y^{1/4}\right)^2,$$
$$x-y=\left(x^{1/2}-y^{1/2}\right)\left(x^{1/2}+y^{1/2}\right)=\left(x^{1/4}-y^{1/4}\right)\left(x^{1/4}+y^{1/4}\right)\left(x^{1/2}+y^{1/2}\right).$$Тогда
$$\frac{\left(x^{1/4}-y^{1/4}\right)\left(x^{1/4}+y^{1/4}\right)\left(x^{1/2}+y^{1/2}\right)}{x^{1/2}\left(x^{1/4}+y^{1/4}\right)}\cdot\frac{x^{1/4}y^{1/4}\left(x^{1/4}+y^{1/4}\right)}{x^{1/2}+y^{1/2}}\cdot\frac{x^{1/4}y^{-1/4}}{\left(x^{1/4}-y^{1/4}\right)^2}.$$Сокращаем одинаковые множители:
$$\frac{x^{1/4}-y^{1/4}}{x^{1/2}}\cdot x^{1/4}y^{1/4}\cdot\frac{x^{1/4}y^{-1/4}}{\left(x^{1/4}-y^{1/4}\right)^2} =\frac{x^{1/4}+y^{1/4}}{x^{1/4}-y^{1/4}}.$$$$\frac{m^{4/3}-27m^{1/3}n}{m^{2/3}+3(mn)^{1/3}+9n^{2/3}}:\left(1-3\left(\frac{n}{m}\right)^{1/3}\right)-\sqrt[3]{m^2}$$
Вынесем общий множитель в числителе и преобразуем дробь:
$$m^{4/3}-27m^{1/3}n=m^{1/3}(m-27n),$$
$$m^{2/3}+3(mn)^{1/3}+9n^{2/3}=m^{2/3}+3m^{1/3}n^{1/3}+9n^{2/3}.$$Заметим, что
$$1-3\left(\frac{n}{m}\right)^{1/3}=\frac{m^{1/3}-3n^{1/3}}{m^{1/3}}.$$Тогда
$$\frac{m^{1/3}(m-27n)}{m^{2/3}+3m^{1/3}n^{1/3}+9n^{2/3}}:\frac{m^{1/3}-3n^{1/3}}{m^{1/3}}-\sqrt[3]{m^2}.$$Используем разложение:
$$m-27n=\left(m^{1/3}-3n^{1/3}\right)\left(m^{2/3}+3m^{1/3}n^{1/3}+9n^{2/3}\right).$$Тогда первая дробь сокращается:
$$\frac{m^{1/3}\left(m^{1/3}-3n^{1/3}\right)\left(m^{2/3}+3m^{1/3}n^{1/3}+9n^{2/3}\right)}{m^{2/3}+3m^{1/3}n^{1/3}+9n^{2/3}}:\frac{m^{1/3}-3n^{1/3}}{m^{1/3}}=m^{2/3}.$$Получаем:
$$m^{2/3}-\sqrt[3]{m^2}=m^{2/3}-m^{2/3}=0.$$
Ответ
1) $$\frac{x^{1/4}+y^{1/4}}{x^{1/4}-y^{1/4}}$$ 2) $$0$$
