Упр.23.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

1. $$\left(\frac{a^{7/3}-2a^{5/3}b^{2/3}+ab^{4/3}}{a^{5/3}-a^{4/3}b^{1/3}-ab^{2/3}+a^{2/3}b}\right):a^{1/3}$$;
2. $$\frac{x^{2/3}+2(xy)^{1/3}+4y^{2/3}}{\left((x^4)^{1/3}-8y(x^{1/3})\right):xy^{1/3}}\cdot\left(2-\left(\frac{x}{y}\right)^{1/3}\right)$$.

1. $$\frac{a^{7/3}-2a^{5/3}b^{2/3}+ab^{4/3}}{a^{5/3}-a^{4/3}b^{1/3}-ab^{2/3}+a^{2/3}b}:a^{1/3}$$

   Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе:
   $$a^{7/3}-2a^{5/3}b^{2/3}+ab^{4/3}=a\left(a^{4/3}-2a^{2/3}b^{2/3}+b^{4/3}\right),$$
   $$a^{5/3}-a^{4/3}b^{1/3}-ab^{2/3}+a^{2/3}b=a^{2/3}\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right)^2\left(a^{1/3}+b^{1/3}\right).$$

   Тогда
   $$\frac{a\left(a^{4/3}-2a^{2/3}b^{2/3}+b^{4/3}\right)}{a^{2/3}\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right)^2\left(a^{1/3}+b^{1/3}\right)}:a^{1/3}.$$

   Заметим, что
   $$a^{4/3}-2a^{2/3}b^{2/3}+b^{4/3}=\left(a^{2/3}-b^{2/3}\right)^2=\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right)^2\left(a^{1/3}+b^{1/3}\right)^2.$$

   После сокращения получаем:
   $$a^{1/3}+b^{1/3}.$$

2. $$\frac{x^{2/3}+2(xy)^{1/3}+4y^{2/3}}{\left((x^4)^{1/3}-8y(x^{1/3})\right):xy^{1/3}}\cdot\left(2-\left(\frac{x}{y}\right)^{1/3}\right)$$

   Преобразуем выражение:
   $$\left((x^4)^{1/3}-8y(x^{1/3})\right):xy^{1/3}=\frac{x^{4/3}-8yx^{1/3}}{xy^{1/3}}=\frac{x^{1/3}(x-8y)}{xy^{1/3}}.$$

   Тогда
   $$\frac{x^{2/3}+2x^{1/3}y^{1/3}+4y^{2/3}}{\frac{x^{1/3}(x-8y)}{xy^{1/3}}}\cdot\left(2-\frac{x^{1/3}}{y^{1/3}}\right).$$

   Числитель первой дроби раскладывается так:
   $$x^{2/3}+2x^{1/3}y^{1/3}+4y^{2/3}=\left(x^{1/3}+2y^{1/3}\right)^2.$$

   А
   $$2-\frac{x^{1/3}}{y^{1/3}}=\frac{2y^{1/3}-x^{1/3}}{y^{1/3}}.$$

   После сокращения получаем:
   $$\frac{8y-x}{x-8y}=-1.$$

Ответ

1) $$a^{1/3}+b^{1/3}$$; 2) $$-1$$.