Упр.23.29 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

1) ((a^(7/3)-2a^(5/3) b^(2/3)+ab^(4/3))/(a^(5/3)-a^(4/3) b^(1/3)-ab^(2/3)+a^(2/3) b)):a^(1/3);
2) ((x^(2/3)+2(xy)^(1/3)+4y^(2/3))/(((x^4)^(1/3)-8y(x^(1/3))):xy^(1/3)))·(2-(x/y)^(1/3)).

Подробный ответ

$$\frac{a^{7/3}-2a^{5/3}b^{2/3}+ab^{4/3}}{a^{5/3}-a^{4/3}b^{1/3}-ab^{2/3}+a^{2/3}b}:a^{1/3}$$
Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе:
$$a^{7/3}-2a^{5/3}b^{2/3}+ab^{4/3}=a\left(a^{4/3}-2a^{2/3}b^{2/3}+b^{4/3}\right),$$
$$a^{5/3}-a^{4/3}b^{1/3}-ab^{2/3}+a^{2/3}b=a^{2/3}\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right)^2\left(a^{1/3}+b^{1/3}\right).$$
Тогда
$$\frac{a\left(a^{4/3}-2a^{2/3}b^{2/3}+b^{4/3}\right)}{a^{2/3}\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right)^2\left(a^{1/3}+b^{1/3}\right)}:a^{1/3}.$$
Заметим, что
$$a^{4/3}-2a^{2/3}b^{2/3}+b^{4/3}=\left(a^{2/3}-b^{2/3}\right)^2=\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right)^2\left(a^{1/3}+b^{1/3}\right)^2.$$
После сокращения получаем:
$$a^{1/3}+b^{1/3}.$$
$$\frac{x^{2/3}+2(xy)^{1/3}+4y^{2/3}}{\left((x^4)^{1/3}-8y(x^{1/3})\right):xy^{1/3}}\cdot\left(2-\left(\frac{x}{y}\right)^{1/3}\right)$$
Преобразуем выражение:
$$\left((x^4)^{1/3}-8y(x^{1/3})\right):xy^{1/3}=\frac{x^{4/3}-8yx^{1/3}}{xy^{1/3}}=\frac{x^{1/3}(x-8y)}{xy^{1/3}}.$$
Тогда
$$\frac{x^{2/3}+2x^{1/3}y^{1/3}+4y^{2/3}}{\frac{x^{1/3}(x-8y)}{xy^{1/3}}}\cdot\left(2-\frac{x^{1/3}}{y^{1/3}}\right).$$
Числитель первой дроби раскладывается так:
$$x^{2/3}+2x^{1/3}y^{1/3}+4y^{2/3}=\left(x^{1/3}+2y^{1/3}\right)^2.$$
А
$$2-\frac{x^{1/3}}{y^{1/3}}=\frac{2y^{1/3}-x^{1/3}}{y^{1/3}}.$$
После сокращения получаем:
$$\frac{8y-x}{x-8y}=-1.$$