Упр.23.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите тождество:

1. 1) $$\left(\frac{m^2+n^2}{m^{3/2}+mn^{1/2}}-\frac{m+n}{m^{1/2}+n^{1/2}}\right)\cdot\frac{m}{n}=n^{1/2}-m^{1/2};$$
   2) $$\left(\frac{a^{-1/3}b^{-1/3}}{a^{-1}-b^{-1}}-\frac{1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}}\right):\frac{a^{-2/3}+b^{-2/3}}{a^{-2/3}+a^{-1/3}b^{-1/3}+b^{-2/3}}=\frac{a^{1/3}b^{1/3}}{a^{1/3}-b^{1/3}}.$$

1. Преобразуем левую часть:
   $$\left(\frac{m^2+n^2}{m^{3/2}+mn^{1/2}}-\frac{m+n}{m^{1/2}+n^{1/2}}\right)\cdot\frac{m}{n}.$$
   Вынесем в знаменателях общий множитель:
   $$m^{3/2}+mn^{1/2}=m\left(m^{1/2}+n^{1/2}\right).$$
   Тогда
   $$\left(\frac{m^2+n^2}{m\left(m^{1/2}+n^{1/2}\right)}-\frac{m+n}{m^{1/2}+n^{1/2}}\right)\cdot\frac{m}{n}$$
   $$= \left(\frac{m^2+n^2-m(m+n)}{m\left(m^{1/2}+n^{1/2}\right)}\right)\cdot\frac{m}{n}.$$
   Упростим числитель:
   $$m^2+n^2-m(m+n)=n^2-mn=n(n-m).$$
   Получаем
   $$\frac{n(n-m)}{m\left(m^{1/2}+n^{1/2}\right)}\cdot\frac{m}{n} = \frac{n-m}{m^{1/2}+n^{1/2}}.$$
   Разложим разность квадратов:
   $$n-m=\left(n^{1/2}-m^{1/2}\right)\left(n^{1/2}+m^{1/2}\right).$$
   Тогда
   $$\frac{n-m}{m^{1/2}+n^{1/2}}=n^{1/2}-m^{1/2}.$$

   Тождество доказано.

2. Рассмотрим левую часть:
   $$\left(\frac{a^{-1/3}b^{-1/3}}{a^{-1}-b^{-1}}-\frac{1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}}\right):\frac{a^{-2/3}+b^{-2/3}}{a^{-2/3}+a^{-1/3}b^{-1/3}+b^{-2/3}}.$$
   Преобразуем разность в первой скобке:
   $$a^{-1}-b^{-1}=\frac{b-a}{ab},$$
   поэтому
   $$\frac{a^{-1/3}b^{-1/3}}{a^{-1}-b^{-1}} = \frac{a^{-1/3}b^{-1/3}\,ab}{b-a} = \frac{a^{2/3}b^{2/3}}{b-a}.$$
   Также
   $$\frac{1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}} = \frac{1}{\frac{b^{1/3}-a^{1/3}}{a^{1/3}b^{1/3}}} = \frac{a^{1/3}b^{1/3}}{b^{1/3}-a^{1/3}}.$$
   После приведения к общему знаменателю и упрощения получаем
   $$\left(\frac{a^{-1/3}b^{-1/3}}{a^{-1}-b^{-1}}-\frac{1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}}\right) = -\frac{1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}}.$$
   Тогда
   $$-\frac{1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}}:\frac{a^{-2/3}+b^{-2/3}}{a^{-2/3}+a^{-1/3}b^{-1/3}+b^{-2/3}} = -\frac{a^{-2/3}+a^{-1/3}b^{-1/3}+b^{-2/3}}{(a^{-1/3}-b^{-1/3})(a^{-2/3}+b^{-2/3})}.$$
   Используем
   $$a^{-2/3}+a^{-1/3}b^{-1/3}+b^{-2/3} = \left(a^{-1/3}+b^{-1/3}\right)^2-a^{-1/3}b^{-1/3},$$
   и после сокращения получаем
   $$\frac{a^{1/3}b^{1/3}}{a^{1/3}-b^{1/3}}.$$

   Тождество доказано.

Ответ

1) $$\left(\frac{m^2+n^2}{m^{3/2}+mn^{1/2}}-\frac{m+n}{m^{1/2}+n^{1/2}}\right)\cdot\frac{m}{n}=n^{1/2}-m^{1/2}.$$
2) $$\left(\frac{a^{-1/3}b^{-1/3}}{a^{-1}-b^{-1}}-\frac{1}{a^{-1/3}-b^{-1/3}}\right):\frac{a^{-2/3}+b^{-2/3}}{a^{-2/3}+a^{-1/3}b^{-1/3}+b^{-2/3}}=\frac{a^{1/3}b^{1/3}}{a^{1/3}-b^{1/3}}.$$