Упр.23.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   1. $$\left(\frac{a^{0,5}+2}{a+2a^{0,5}+1}-\frac{a^{0,5}-2}{a-1}:\frac{a^{0,5}}{a^{0,5}}+1\right)=\frac{2}{a-1}$$
   2. $$\frac{(a-b)^2}{a^{3/2}-b^{3/2}}+\frac{a^2-b^2}{(a^{1/2}+b^{1/2})(a+a^{1/2}b^{1/2}+b)}=2a^{1/2}-b^{1/2}$$

1. Пусть $$x=\sqrt{a}$$. Тогда $$a=x^2$$, и выражение преобразуется так:

   $$\left(\frac{x+2}{x^2+2x+1}-\frac{x-2}{x^2-1}\right):\frac{x}{x+1}$$

   Разложим знаменатели на множители:

   $$x^2+2x+1=(x+1)^2,\qquad x^2-1=(x-1)(x+1)$$

   $$\left(\frac{x+2}{(x+1)^2}-\frac{x-2}{(x-1)(x+1)}\right):\frac{x}{x+1}$$

   Приведём дроби к общему знаменателю:

   $$\frac{(x+2)(x-1)-(x-2)(x+1)}{(x+1)^2(x-1)}:\frac{x}{x+1}$$

   Упростим числитель:

   $$(x+2)(x-1)-(x-2)(x+1)=x^2+x-2-(x^2-x-2)=2x$$

   $$\frac{2x}{(x+1)^2(x-1)}\cdot\frac{x+1}{x} =\frac{2}{(x+1)(x-1)} =\frac{2}{x^2-1} =\frac{2}{a-1}$$

   Тождество доказано.

2. Пусть $$x=\sqrt{a}$$, $$y=\sqrt{b}$$. Тогда $$a=x^2$$, $$b=y^2$$, и выражение имеет вид:

   $$\frac{(x^2-y^2)^2}{x^3-y^3}+\frac{x^4-y^4}{(x+y)(x^2+xy+y^2)}$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-y^2=(x-y)(x+y),\qquad x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$$

   $$x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)$$

   Тогда

   $$\frac{(x-y)^2(x+y)^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}+\frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)}{(x+y)(x^2+xy+y^2)}$$

   $$=\frac{(x-y)(x+y)^2}{x^2+xy+y^2}+\frac{(x-y)(x^2+y^2)}{x^2+xy+y^2}$$

   $$=\frac{(x-y)\bigl((x+y)^2+x^2+y^2\bigr)}{x^2+xy+y^2}$$

   $$=\frac{(x-y)(2x^2+2xy+2y^2)}{x^2+xy+y^2}=2(x-y)$$

   $$2(x-y)=2\sqrt{a}-2\sqrt{b}$$

   Тождество доказано.

Ответ

1) $$\frac{2}{a-1}$$;
2) $$2\sqrt{a}-2\sqrt{b}$$.