Упр.23.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) ((a^0,5+2)/(a+2a^0,5+1)-(a^0,5-2)/(a-1)):a^0,5/(a^0,5)+1)=2/(a-1);
2) (a-b)^2/(a^(3/2)-b^(3/2))+(a^2-b^2)/((a^(1/2)+b^(1/2))(a+a^(1/2) b^(1/2)+b))=2a^(1/2)-b^(1/2).

1. Пусть $$x=\sqrt{a}$$. Тогда $$a=x^2$$, и выражение преобразуется так:

   $$ \left(\frac{x+2}{x^2+2x+1}-\frac{x-2}{x^2-1}\right):\frac{x}{x+1} $$

   Разложим знаменатели на множители:

   $$ x^2+2x+1=(x+1)^2,\qquad x^2-1=(x-1)(x+1) $$

   $$ \left(\frac{x+2}{(x+1)^2}-\frac{x-2}{(x-1)(x+1)}\right):\frac{x}{x+1} $$

   Приведём дроби к общему знаменателю:

   $$ \frac{(x+2)(x-1)-(x-2)(x+1)}{(x+1)^2(x-1)}:\frac{x}{x+1} $$

   Упростим числитель:

   $$ (x+2)(x-1)-(x-2)(x+1)=x^2+x-2-(x^2-x-2)=2x $$

   $$ \frac{2x}{(x+1)^2(x-1)}\cdot\frac{x+1}{x} =\frac{2}{(x+1)(x-1)} =\frac{2}{x^2-1} =\frac{2}{a-1} $$

   Тождество доказано.

2. Пусть $$x=\sqrt{a}$$, $$y=\sqrt{b}$$. Тогда $$a=x^2$$, $$b=y^2$$, и выражение имеет вид:

   $$ \frac{(x^2-y^2)^2}{x^3-y^3}+\frac{x^4-y^4}{(x+y)(x^2+xy+y^2)} $$

   Разложим на множители:

   $$ x^2-y^2=(x-y)(x+y),\qquad x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2) $$

   $$ x^4-y^4=(x^2-y^2)(x^2+y^2)=(x-y)(x+y)(x^2+y^2) $$

   Тогда

   $$ \frac{(x-y)^2(x+y)^2}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}+\frac{(x-y)(x+y)(x^2+y^2)}{(x+y)(x^2+xy+y^2)} $$

   $$ =\frac{(x-y)(x+y)^2}{x^2+xy+y^2}+\frac{(x-y)(x^2+y^2)}{x^2+xy+y^2} $$

   $$ =\frac{(x-y)\bigl((x+y)^2+x^2+y^2\bigr)}{x^2+xy+y^2} $$

   $$ =\frac{(x-y)(2x^2+2xy+2y^2)}{x^2+xy+y^2}=2(x-y) $$

   $$ 2(x-y)=2\sqrt{a}-2\sqrt{b} $$

   Тождество доказано.

Ответ

1) $$\frac{2}{a-1}$$;
2) $$2\sqrt{a}-2\sqrt{b}$$.