Упр.23.16 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Разложите на множители, используя формулу разности кубов (переменные принимают только неотрицательные значения): 1) $$a-b$$; 2) $$a^{1,5}-b^{1,5}$$; 3) $$m^{0,6}-8n^{1,8}$$; 4) $$x^{(6/7)}-6$$.

Используем формулу разности кубов:

$$u^3-v^3=(u-v)(u^2+uv+v^2).$$

1. $$a-b=a^{\frac13\cdot 3}-b^{\frac13\cdot 3}=(a^{\frac13}-b^{\frac13})(a^{\frac23}+a^{\frac13}b^{\frac13}+b^{\frac23})$$

   $$=(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}).$$

2. $$a^{1,5}-b^{1,5}=a^{\frac32}-b^{\frac32}=(a^{\frac12}-b^{\frac12})(a+b^{\frac12}a^{\frac12}+b)$$

   $$=(\sqrt{a}-\sqrt{b})(a+\sqrt{ab}+b).$$

3. $$m^{0,6}-8n^{1,8}=m^{\frac35}-2^3n^{\frac95}=(m^{\frac15}-2n^{\frac35})(m^{\frac25}+2m^{\frac15}n^{\frac35}+4n^{\frac65})$$

   $$=(\sqrt[5]{m}-2\sqrt[5]{n^3})(\sqrt[5]{m^2}+2\sqrt[5]{mn^3}+4\sqrt[5]{n^6}).$$

4. $$x^{\frac67}-6=x^{\frac67}-6^{\frac13\cdot 3}=(x^{\frac27}-\sqrt[3]{6})(x^{\frac47}+x^{\frac27}\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{36})$$

   $$=(\sqrt[7]{x^2}-\sqrt[3]{6})(\sqrt[7]{x^4}+\sqrt[3]{6}\sqrt[7]{x^2}+\sqrt[3]{36}).$$

Ответ

1) $$(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2})$$
2) $$(\sqrt{a}-\sqrt{b})(a+\sqrt{ab}+b)$$
3) $$(\sqrt[5]{m}-2\sqrt[5]{n^3})(\sqrt[5]{m^2}+2\sqrt[5]{mn^3}+4\sqrt[5]{n^6})$$
4) $$(\sqrt[7]{x^2}-\sqrt[3]{6})(\sqrt[7]{x^4}+\sqrt[3]{6}\sqrt[7]{x^2}+\sqrt[3]{36})$$