Упр.23.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Представьте данное выражение в виде суммы кубов и разложите его на множители (переменные принимают только неотрицательные значения): 1) $$a+b$$; 2) $$a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{3}}$$; 3) $$a^{\frac{3}{2}}+27$$; 4) $$a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}$$.

1. $$a+b=a^{\frac13}+b^{\frac13}$$
   Представим как сумму кубов:
   $$a+b=\left(a^{\frac13}\right)^3+\left(b^{\frac13}\right)^3$$
   Тогда по формуле $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$$ получаем:
   $$a+b=\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right).$$
2. $$a^{\frac12}+b^{\frac13}=a^{\frac16}+b^{\frac19}$$
   Представим как сумму кубов:
   $$a^{\frac12}+b^{\frac13}=\left(a^{\frac16}\right)^3+\left(b^{\frac19}\right)^3$$
   Тогда
   $$a^{\frac12}+b^{\frac13}=\left(\sqrt[6]{a}+\sqrt[9]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[6]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right).$$
3. $$a^{\frac32}+27=\left(a^{\frac12}\right)^3+3^3$$
   По формуле суммы кубов:
   $$a^{\frac32}+27=\left(\sqrt{a}+3\right)\left(a-3\sqrt{a}+9\right).$$
4. $$a^{\frac23}+b^{\frac23}=\left(a^{\frac29}\right)^3+\left(b^{\frac29}\right)^3$$
   Тогда
   $$a^{\frac23}+b^{\frac23}=\left(\sqrt[9]{a^2}+\sqrt[9]{b^2}\right)\left(\sqrt[9]{a^4}-\sqrt[9]{(ab)^2}+\sqrt[9]{b^4}\right).$$

Ответ

1. $$\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right)$$
2. $$\left(\sqrt[6]{a}+\sqrt[9]{b}\right)\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[6]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right)$$
3. $$\left(\sqrt{a}+3\right)\left(a-3\sqrt{a}+9\right)$$
4. $$\left(\sqrt[9]{a^2}+\sqrt[9]{b^2}\right)\left(\sqrt[9]{a^4}-\sqrt[9]{(ab)^2}+\sqrt[9]{b^4}\right)$$