Упр.22.51 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 22.51. Докажите, что при любом целом значении n значение выражения n(n+1)(2n+1) кратно 6.

Рассмотрим выражение $$n(n+1)(2n+1).$$

Среди двух соседних чисел $$n$$ и $$n+1$$ одно обязательно чётное, значит их произведение $$n(n+1)$$ делится на $$2$$.

Кроме того, среди трёх последовательных чисел $$n,\; n+1,\; 2n+1$$ одно обязательно делится на $$3$$: если $$n \equiv 0 \pmod 3,$$ то делится $$n$$; если $$n \equiv 1 \pmod 3,$$ то делится $$2n+1$$; если $$n \equiv 2 \pmod 3,$$ то делится $$n+1$$.

Значит, произведение $$n(n+1)(2n+1)$$ делится и на $$2,$$ и на $$3.$$ Так как $$2$$ и $$3$$ взаимно просты, то всё выражение делится на $$6.$$

Ответ

$$n(n+1)(2n+1)$$ кратно $$6$$ при любом целом $$n.$$