Упр.22.50 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

v(2+v(2+v(2+v(2+v(2+v14)))))=(6+v35)^(1/64)+(6-v35)^(1/64).

Обозначим

$$x_n=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+\sqrt{14}}}}}$$

где под корнем стоит $$n$$ радикалов. Докажем, что

$$x_n=\sqrt[2^n]{6+\sqrt{35}}+\sqrt[2^n]{6-\sqrt{35}}.$$

Проверим это по индукции.

1) База индукции, $$n=1$$.

Тогда

$$\sqrt{14}=\sqrt{6+\sqrt{35}}+\sqrt{6-\sqrt{35}}.$$

Возведём правую часть в квадрат:

$$\left(\sqrt{6+\sqrt{35}}+\sqrt{6-\sqrt{35}}\right)^2$$

$$=6+\sqrt{35}+6-\sqrt{35}+2\sqrt{(6+\sqrt{35})(6-\sqrt{35})}$$

$$=12+2\sqrt{36-35}=12+2=14.$$

Значит, равенство верно.

2) Переход от $$n$$ к $$n+1$$.

Пусть

$$\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+\sqrt{14}}}}=\sqrt[2^n]{6+\sqrt{35}}+\sqrt[2^n]{6-\sqrt{35}}.$$

Тогда для $$n+1$$ радикалов получаем

$$\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+\sqrt{14}}}}$$

$$=\sqrt{2+\sqrt[2^n]{6+\sqrt{35}}+\sqrt[2^n]{6-\sqrt{35}}}.$$

Проверим, что это равно

$$\sqrt[2^{n+1}]{6+\sqrt{35}}+\sqrt[2^{n+1}]{6-\sqrt{35}}.$$

Возведём правую часть в квадрат:

$$\left(\sqrt[2^{n+1}]{6+\sqrt{35}}+\sqrt[2^{n+1}]{6-\sqrt{35}}\right)^2$$

$$=\sqrt[2^n]{6+\sqrt{35}}+\sqrt[2^n]{6-\sqrt{35}}+2\sqrt[2^{n+1}]{(6+\sqrt{35})(6-\sqrt{35})}.$$

Так как

$$ (6+\sqrt{35})(6-\sqrt{35})=36-35=1, $$

то

$$\left(\sqrt[2^{n+1}]{6+\sqrt{35}}+\sqrt[2^{n+1}]{6-\sqrt{35}}\right)^2$$

$$=\sqrt[2^n]{6+\sqrt{35}}+\sqrt[2^n]{6-\sqrt{35}}+2$$

$$=2+\sqrt[2^n]{6+\sqrt{35}}+\sqrt[2^n]{6-\sqrt{35}}.$$

Следовательно,

$$\sqrt{2+\sqrt[2^n]{6+\sqrt{35}}+\sqrt[2^n]{6-\sqrt{35}}}=\sqrt[2^{n+1}]{6+\sqrt{35}}+\sqrt[2^{n+1}]{6-\sqrt{35}}.$$

Переход доказан, значит, формула верна для любого натурального $$n$$.

Ответ

$$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{14}}}}}}=\sqrt[64]{6+\sqrt{35}}+\sqrt[64]{6-\sqrt{35}}.$$