Упр.22.49 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

v(2+v(2+v(…+v(2+v6))))=(2+v3)^(1/1024)+v(2-v3)^(1/1024).
10 радикалов

Подробный ответ

Докажем более общее утверждение по индукции:

$$ \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+\sqrt6}}}}_{n\ \text{радикалов}} = \sqrt[2^n]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^n]{2-\sqrt3}. $$

1. База индукции. При $$n=1$$ получаем:

$$ \sqrt6=\sqrt{2+\sqrt3}+\sqrt{2-\sqrt3}. $$

Возведём правую часть в квадрат:

$$ \left(\sqrt{2+\sqrt3}+\sqrt{2-\sqrt3}\right)^2 = (2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)+2\sqrt{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}. $$

$$ =4+2\sqrt{4-3}=4+2=6. $$

Значит, равенство верно при $$n=1$$.

2. Переход индукции. Пусть для некоторого $$n$$ верно:

$$ \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+\sqrt6}}}}_{n\ \text{радикалов}} = \sqrt[2^n]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^n]{2-\sqrt3}. $$

Тогда для $$n+1$$ радикалов имеем:

$$ \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+\sqrt6}}}}_{n+1\ \text{радикалов}} = \sqrt{2+\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+\sqrt6}}}}_{n\ \text{радикалов}}}. $$

Подставим предположение индукции:

$$ \sqrt{2+\sqrt[2^n]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^n]{2-\sqrt3}}. $$

Обозначим

$$ a=\sqrt[2^n]{2+\sqrt3}, \qquad b=\sqrt[2^n]{2-\sqrt3}. $$

Тогда

$$ \sqrt{2+a+b}. $$

Проверим, что это равно

$$ \sqrt[2^{n+1}]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^{n+1}]{2-\sqrt3}. $$

Возведём правую часть в квадрат:

$$ \left(\sqrt[2^{n+1}]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^{n+1}]{2-\sqrt3}\right)^2 = \sqrt[2^n]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^n]{2-\sqrt3} +2\sqrt[2^{n+1}]{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}. $$

Так как

$$ (2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=1, $$

то

$$ \left(\sqrt[2^{n+1}]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^{n+1}]{2-\sqrt3}\right)^2 =2+a+b. $$

Следовательно,

$$ \sqrt{2+a+b} = \sqrt[2^{n+1}]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^{n+1}]{2-\sqrt3}. $$

Значит, утверждение верно для $$n+1$$. По индукции оно верно для всех натуральных $$n$$, в частности при $$n=10$$.

Ответ:

$$ \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+\sqrt6}}}}_{10\ \text{радикалов}} = \sqrt[1024]{2+\sqrt3}+\sqrt[1024]{2-\sqrt3}. $$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке