Упр.22.49 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите равенство $$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\dots+\sqrt{2+\sqrt{6}}}}}=(2+\sqrt{3})^{\frac{1}{1024}}+\sqrt{(2-\sqrt{3})^{\frac{1}{1024}}}$$ (10 радикалов).

Докажем более общее утверждение по индукции:

$$\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+\sqrt6}}}}_{n\ \text{радикалов}} = \sqrt[2^n]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^n]{2-\sqrt3}.$$

1. База индукции. При $$n=1$$ получаем:

$$\sqrt6=\sqrt{2+\sqrt3}+\sqrt{2-\sqrt3}.$$

Возведём правую часть в квадрат:

$$\left(\sqrt{2+\sqrt3}+\sqrt{2-\sqrt3}\right)^2 = (2+\sqrt3)+(2-\sqrt3)+2\sqrt{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}.$$

$$=4+2\sqrt{4-3}=4+2=6.$$

Значит, равенство верно при $$n=1$$.

2. Переход индукции. Пусть для некоторого $$n$$ верно:

$$\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+\sqrt6}}}}_{n\ \text{радикалов}} = \sqrt[2^n]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^n]{2-\sqrt3}.$$

Тогда для $$n+1$$ радикалов имеем:

$$\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+\sqrt6}}}}_{n+1\ \text{радикалов}} = \sqrt{2+\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+\sqrt6}}}}_{n\ \text{радикалов}}}.$$

Подставим предположение индукции:

$$\sqrt{2+\sqrt[2^n]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^n]{2-\sqrt3}}.$$

Обозначим

$$a=\sqrt[2^n]{2+\sqrt3}, \qquad b=\sqrt[2^n]{2-\sqrt3}.$$

Тогда

$$\sqrt{2+a+b}.$$

Проверим, что это равно

$$\sqrt[2^{n+1}]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^{n+1}]{2-\sqrt3}.$$

Возведём правую часть в квадрат:

$$\left(\sqrt[2^{n+1}]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^{n+1}]{2-\sqrt3}\right)^2 = \sqrt[2^n]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^n]{2-\sqrt3} +2\sqrt[2^{n+1}]{(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)}.$$

Так как

$$(2+\sqrt3)(2-\sqrt3)=1,$$

то

$$\left(\sqrt[2^{n+1}]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^{n+1}]{2-\sqrt3}\right)^2 =2+a+b.$$

Следовательно,

$$\sqrt{2+a+b} = \sqrt[2^{n+1}]{2+\sqrt3}+\sqrt[2^{n+1}]{2-\sqrt3}.$$

Значит, утверждение верно для $$n+1$$. По индукции оно верно для всех натуральных $$n$$, в частности при $$n=10$$.

Ответ:

$$\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots+\sqrt{2+\sqrt6}}}}_{10\ \text{радикалов}} = \sqrt[1024]{2+\sqrt3}+\sqrt[1024]{2-\sqrt3}.$$