Упр.22.48 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что число является иррациональным:

1. $$7^{1/3}-3^{1/3}$$;
2. $$2^{1/3}+\sqrt{3}$$.

1. Докажем, что число $$\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3}$$ иррационально.

   Предположим противное: пусть

   $$x=\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3}, \quad x\in \mathbb{Q}.$$

   Возведём обе части в куб:

   $$x^3=\left(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3}\right)^3 =7-3\sqrt[3]{49}\sqrt[3]{3}+3\sqrt[3]{7}\sqrt[3]{9}-3.$$

   Так как $$\sqrt[3]{49}\sqrt[3]{3}=\sqrt[3]{147}= \sqrt[3]{21}\sqrt[3]{7}$$ и $$\sqrt[3]{7}\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{63}= \sqrt[3]{21}\sqrt[3]{3},$$ получаем

   $$x^3=4-3\sqrt[3]{21}\left(\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3}\right)=4-3x\sqrt[3]{21}.$$

   Тогда

   $$3x\sqrt[3]{21}=4-x^3, \qquad \sqrt[3]{21}=\frac{4-x^3}{3x}.$$

   Правая часть — рациональное число, значит $$\sqrt[3]{21}\in \mathbb{Q}$$, что невозможно. Противоречие.

2. Докажем, что число $$\sqrt[3]{2}+\sqrt{3}$$ иррационально.

   Предположим противное: пусть

   $$x=\sqrt[3]{2}+\sqrt{3}, \quad x\in \mathbb{Q}.$$

   Тогда

   $$\sqrt[3]{2}=x-\sqrt{3}.$$

   Возведём обе части в куб:

   $$2=(x-\sqrt{3})^3=x^3-3x^2\sqrt{3}+9x-3\sqrt{3}.$$

   Перенесём рациональные и иррациональные слагаемые:

   $$3x^2\sqrt{3}+3\sqrt{3}=x^3+9x-2,$$
   $$(3x^2+3)\sqrt{3}=x^3+9x-2.$$

   Следовательно,

   $$\sqrt{3}=\frac{x^3+9x-2}{3x^2+3}.$$

   Правая часть рациональна, значит $$\sqrt{3}\in \mathbb{Q}$$, что невозможно. Противоречие.

Ответ

1) $$\sqrt[3]{7}-\sqrt[3]{3}$$ — иррациональное число; 2) $$\sqrt[3]{2}+\sqrt{3}$$ — иррациональное число.