Упр.22.47 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) 2^(1/3)+5^(1/3); 2) 3^(1/3)+v2.

1) Докажем, что число $$\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}$$ иррационально.

Предположим противное: пусть

$$x=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}, \quad x\in \mathbb{Q}.$$

Тогда

$$x^3=\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}\right)^3=2+3\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{5}+3\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{25}+5.$$

Так как $$\sqrt[3]{4}\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{20}=\sqrt[3]{10}\sqrt[3]{2}$$ и $$\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{25}=\sqrt[3]{50}=\sqrt[3]{10}\sqrt[3]{5},$$ получаем

$$x^3=7+3\sqrt[3]{10}\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}\right)=7+3x\sqrt[3]{10}.$$

Отсюда

$$3x\sqrt[3]{10}=x^3-7,$$

$$\sqrt[3]{10}=\frac{x^3-7}{3x}\in \mathbb{Q}.$$

Но $$\sqrt[3]{10}$$ — иррациональное число. Получили противоречие. Значит,

$$\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}\notin \mathbb{Q}.$$

2) Докажем, что число $$\sqrt[3]{3}+\sqrt{2}$$ иррационально.

Предположим, что

$$x=\sqrt[3]{3}+\sqrt{2}, \quad x\in \mathbb{Q}.$$

Тогда

$$\sqrt[3]{3}=x-\sqrt{2}.$$

Возведём в куб:

$$3=(x-\sqrt{2})^3=x^3-3x^2\sqrt{2}+3x\cdot 2-2\sqrt{2}.$$

Следовательно,

$$3=x^3-3x^2\sqrt{2}+6x-2\sqrt{2},$$

$$3x^2\sqrt{2}+2\sqrt{2}=x^3+6x-3,$$

$$\left(3x^2+2\right)\sqrt{2}=x^3+6x-3,$$

$$\sqrt{2}=\frac{x^3+6x-3}{3x^2+2}\in \mathbb{Q}.$$

Это невозможно, так как $$\sqrt{2}$$ иррационально. Противоречие. Значит,

$$\sqrt[3]{3}+\sqrt{2}\notin \mathbb{Q}.$$

Ответ

1) $$\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{5}$$ — иррациональное число; 2) $$\sqrt[3]{3}+\sqrt{2}$$ — иррациональное число.