Упр.22.45 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 22.45. Приведите пример такого многочлена с целыми коэффициентами, что число 3^(1/3)+9^(1/3) является его корнем.

Обозначим

$$x=\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}.$$

Тогда

$$x^3=\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}\right)^3.$$

Раскроем куб суммы:

$$x^3=3+3\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{9}\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}\right)+9.$$

Так как

$$\sqrt[3]{3}\cdot\sqrt[3]{9}=\sqrt[3]{27}=3,$$

то

$$x^3=3+9\left(\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}\right)+9.$$

Следовательно,

$$x^3=12+9x,$$

или

$$x^3-9x-12=0.$$

Значит, искомым многочленом может быть многочлен

$$x^3-9x-12.$$

Ответ

$$x^3-9x-12$$