Упр.22.44 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 22.44. Упростите выражение (a^(1/64)+1)(a^(1/32)+1)·…·(va+1).

Рассмотрим произведение

$$\left(\sqrt[64]{a}+1\right)\left(\sqrt[32]{a}+1\right)\cdots\left(\sqrt{a}+1\right).$$

Если $$a \ne 1,$$ то используем формулу разности квадратов:

$$\left(\sqrt[64]{a}-1\right)\left(\sqrt[64]{a}+1\right)=a-1.$$

Тогда

$$ \left(\sqrt[64]{a}+1\right)\left(\sqrt[32]{a}+1\right)\cdots\left(\sqrt{a}+1\right) = \frac{\left(\sqrt[64]{a}-1\right)\left(\sqrt[64]{a}+1\right)\left(\sqrt[32]{a}+1\right)\cdots\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt[64]{a}-1}. $$

Сокращая аналогично последовательно, получаем:

$$ \frac{\left(\sqrt[32]{a}-1\right)\left(\sqrt[32]{a}+1\right)\cdots\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt[64]{a}-1} = \cdots = \frac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt[64]{a}-1}. $$

Следовательно,

$$ \left(\sqrt[64]{a}+1\right)\left(\sqrt[32]{a}+1\right)\cdots\left(\sqrt{a}+1\right) = \frac{a-1}{\sqrt[64]{a}-1}. $$

Если $$a=1,$$ то каждый множитель равен $$2,$$ а всего множителей шесть:

$$ (1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=2^6. $$

Ответ

Если $$a \ne 1,$$ то $$\frac{a-1}{\sqrt[64]{a}-1};$$ если $$a=1,$$ то $$2^6.$$