Упр.22.44 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\left(a^{\frac{1}{64}}+1\right)\left(a^{\frac{1}{32}}+1\right)\cdot\ldots\cdot\left(\sqrt{a}+1\right)$$.

Рассмотрим произведение

$$\left(\sqrt[64]{a}+1\right)\left(\sqrt[32]{a}+1\right)\cdots\left(\sqrt{a}+1\right).$$

Если $$a \ne 1,$$ то используем формулу разности квадратов:

$$\left(\sqrt[64]{a}-1\right)\left(\sqrt[64]{a}+1\right)=a-1.$$

Тогда

$$\left(\sqrt[64]{a}+1\right)\left(\sqrt[32]{a}+1\right)\cdots\left(\sqrt{a}+1\right) = \frac{\left(\sqrt[64]{a}-1\right)\left(\sqrt[64]{a}+1\right)\left(\sqrt[32]{a}+1\right)\cdots\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt[64]{a}-1}.$$

Сокращая аналогично последовательно, получаем:

$$\frac{\left(\sqrt[32]{a}-1\right)\left(\sqrt[32]{a}+1\right)\cdots\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt[64]{a}-1} = \cdots = \frac{\left(\sqrt{a}-1\right)\left(\sqrt{a}+1\right)}{\sqrt[64]{a}-1}.$$

Следовательно,

$$\left(\sqrt[64]{a}+1\right)\left(\sqrt[32]{a}+1\right)\cdots\left(\sqrt{a}+1\right) = \frac{a-1}{\sqrt[64]{a}-1}.$$

Если $$a=1,$$ то каждый множитель равен $$2,$$ а всего множителей шесть:

$$(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=2^6.$$

Ответ

Если $$a \ne 1,$$ то $$\frac{a-1}{\sqrt[64]{a}-1};$$ если $$a=1,$$ то $$2^6.$$