Упр.22.43 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Упростите выражение $$\left(2^{\frac{1}{32}}+1\right)\left(2^{\frac{1}{16}}+1\right)\left(2^{\frac{1}{8}}+1\right)\left(2^{\frac{1}{4}}+1\right)(v2+1)$$.

Подробный ответ

Обозначим $$a=\sqrt[32]{2}.$$ Тогда

$$\left(\sqrt[32]{2}+1\right)\left(\sqrt[16]{2}+1\right)\left(\sqrt[8]{2}+1\right)\left(\sqrt[4]{2}+1\right)(\sqrt{2}+1)$$

можно последовательно преобразовать, используя формулу $$x^2-1=(x-1)(x+1).$$

Так как

$$\sqrt[16]{2}=\left(\sqrt[32]{2}\right)^2,\quad \sqrt[8]{2}=\left(\sqrt[32]{2}\right)^4,\quad \sqrt[4]{2}=\left(\sqrt[32]{2}\right)^8,\quad \sqrt{2}=\left(\sqrt[32]{2}\right)^{16},$$

то

$$\left(\sqrt[32]{2}+1\right)\left(\sqrt[32]{2}-1\right)=\left(\sqrt[16]{2}-1\right)\left(\sqrt[16]{2}+1\right)=\left(\sqrt[8]{2}-1\right)\left(\sqrt[8]{2}+1\right)=\left(\sqrt[4]{2}-1\right)\left(\sqrt[4]{2}+1\right)=\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right).$$

Поэтому исходное выражение удобно записать как

$$\frac{\left(\sqrt[32]{2}-1\right)\left(\sqrt[32]{2}+1\right)\left(\sqrt[16]{2}+1\right)\left(\sqrt[8]{2}+1\right)\left(\sqrt[4]{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt[32]{2}-1}.$$

После последовательного сокращения получаем

$$\frac{\left(\sqrt[4]{2}-1\right)\left(\sqrt[4]{2}+1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt[32]{2}-1}=\frac{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt[32]{2}-1}=\frac{2-1}{\sqrt[32]{2}-1}=\frac{1}{\sqrt[32]{2}-1}.$$