Упр.22.42 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Докажите, что $$\left(20+14\sqrt{2}\right)^{\frac{1}{3}}+\left(20-14\sqrt{2}\right)^{\frac{1}{3}}=4$$.

Обозначим

$$a=\sqrt[3]{20+14\sqrt2}, \qquad b=\sqrt[3]{20-14\sqrt2}.$$

Тогда

$$ab=\sqrt[3]{(20+14\sqrt2)(20-14\sqrt2)}=\sqrt[3]{400-392}=\sqrt[3]{8}=2,$$

а также

$$a^3+b^3=(20+14\sqrt2)+(20-14\sqrt2)=40.$$

Используем формулу

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

Пусть $$x=a+b$$. Тогда

$$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=x^2-4,$$

и потому

$$a^2-ab+b^2=(a^2+b^2)-ab=(x^2-4)-2=x^2-6.$$

Следовательно,

$$x(x^2-6)=40,$$

то есть

$$x^3-6x-40=0.$$

Проверим значение $$x=4$$:

$$4^3-6\cdot4-40=64-24-40=0.$$

Значит, $$x=4$$, то есть

$$\sqrt[3]{20+14\sqrt2}+\sqrt[3]{20-14\sqrt2}=4.$$

Ответ

$$4$$