Упр.22.41 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) (7+5v2)^(1/3)+(7-5v2)^(1/3);
2) (6v3+10)^(1/3)-(6v3-10)^(1/3).

1) Пусть

$$a=\sqrt[3]{7+5\sqrt2}, \quad b=\sqrt[3]{7-5\sqrt2}.$$

Тогда

$$ab=\sqrt[3]{(7+5\sqrt2)(7-5\sqrt2)}=\sqrt[3]{49-50}=\sqrt[3]{-1}=-1,$$

$$a^3+b^3=(7+5\sqrt2)+(7-5\sqrt2)=14.$$

Найдём сумму $$a+b$$. Обозначим

$$x=a+b.$$

Используем формулу:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$

Тогда

$$14=x\bigl((a+b)^2-3ab\bigr).$$

Так как $$ab=-1,$$ получаем

$$14=x(x^2+3),$$

то есть

$$x^3+3x-14=0.$$

Проверим целый корень: $$x=2$$ подходит, так как

$$2^3+3\cdot2-14=8+6-14=0.$$

Следовательно,

$$a+b=2,$$

а значит, значение выражения рационально.

2) Пусть

$$a=\sqrt[3]{6\sqrt3+10}, \quad b=\sqrt[3]{6\sqrt3-10}.$$

Тогда

$$ab=\sqrt[3]{(6\sqrt3+10)(6\sqrt3-10)}=\sqrt[3]{108-100}=\sqrt[3]{8}=2,$$

$$a^3-b^3=(6\sqrt3+10)-(6\sqrt3-10)=20.$$

Обозначим

$$x=a-b.$$

Используем формулу:

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

Тогда

$$20=x\bigl((a-b)^2+3ab\bigr).$$

Так как $$ab=2,$$ получаем

$$20=x(x^2+6),$$

то есть

$$x^3+6x-20=0.$$

Проверим корень $$x=2$$:

$$2^3+6\cdot2-20=8+12-20=0.$$

Следовательно,

$$a-b=2,$$

а значит, значение выражения рационально.

Ответ

1) $$2$$; 2) $$2$$.