Упр.22.40 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   1. $$\left(\frac{1}{x^{1/6}+1}-\frac{x^{1/6}-1}{x^{1/3}}\right):\frac{(x^2)^{1/3}}{x^{1/3}+2x^{1/6}+1}=\frac{x^{1/6}+1}{x};$$
   2. $$\frac{\frac{a+b}{(a^2)^{1/3}-(b^2)^{1/3}}+\frac{(ab^2)^{1/3}-(a^2b)^{1/3}}{(a^2)^{1/3}-2(ab)^{1/3}+(b^2)^{1/3}}}{a^{1/6}-b^{1/6}}=a^{1/6}+b^{1/6};$$
   3. $$\frac{(m+4\sqrt{m-4})^{1/3}\cdot(\sqrt{m-4}+2)^{1/3}}{(m-4\sqrt{m-4})^{1/3}\cdot(\sqrt{m-4}-2)^{1/3}}\cdot\frac{m-4\sqrt{m-4}}{m-8}=1.$$

1. $$\left(\frac{1}{\sqrt[6]{x}+1}-\frac{\sqrt[6]{x}-1}{\sqrt[3]{x}}\right):\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1}$$

   Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
   $$\frac{1}{\sqrt[6]{x}+1}-\frac{\sqrt[6]{x}-1}{\sqrt[3]{x}}= \frac{\sqrt[3]{x}-(\sqrt[6]{x}-1)(\sqrt[6]{x}+1)}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)}.$$

   Так как
   $$(\sqrt[6]{x}-1)(\sqrt[6]{x}+1)=\sqrt[3]{x}-1,$$
   то
   $$\frac{\sqrt[3]{x}-(\sqrt[3]{x}-1)}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)}.$$

   Тогда
   $$\frac{1}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)}:\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1} =\frac{1}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)}\cdot\frac{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[3]{x^2}}.$$

   Заметим, что
   $$\sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1=(\sqrt[6]{x}+1)^2,\qquad \sqrt[3]{x^2}=(\sqrt[3]{x})^2.$$
   Поэтому
   $$\frac{1}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)}\cdot\frac{(\sqrt[6]{x}+1)^2}{(\sqrt[3]{x})^2} =\frac{\sqrt[6]{x}+1}{x}.$$

   Тождество доказано.

2. $$\frac{\dfrac{a+b}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}+\dfrac{\sqrt[3]{ab^2}-\sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{a^2}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}$$

   Используем разложения:
   $$a+b=(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}),$$
   $$\sqrt[3]{ab^2}-\sqrt[3]{a^2b}=\sqrt[3]{ab}\,(\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{a}),$$
   $$\sqrt[3]{a^2}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}=(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2.$$

   Тогда после преобразований получаем:
   $$\frac{(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b})}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}=\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}.$$

   Тождество доказано.

3. $$\frac{\sqrt[3]{m+4\sqrt{m-4}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt{m-4}+2}}{\sqrt[3]{m-4\sqrt{m-4}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt{m-4}-2}}\cdot\frac{m-4\sqrt{m-4}}{m-8}$$

   Обозначим $$t=\sqrt{m-4}.$$ Тогда $$m=t^2+4,$$ и выражение принимает вид
   $$\frac{\sqrt[3]{t^2+4t+4}\cdot\sqrt[3]{t+2}}{\sqrt[3]{t^2-4t+4}\cdot\sqrt[3]{t-2}}\cdot\frac{t^2+4-4t}{t^2-4}.$$

   Так как
   $$t^2+4t+4=(t+2)^2,\qquad t^2-4t+4=(t-2)^2,\qquad t^2+4-4t=(t-2)^2,\qquad t^2-4=(t-2)(t+2),$$
   то
   $$\frac{\sqrt[3]{(t+2)^2}\cdot\sqrt[3]{t+2}}{\sqrt[3]{(t-2)^2}\cdot\sqrt[3]{t-2}}\cdot\frac{(t-2)^2}{(t-2)(t+2)} =\frac{t+2}{t-2}\cdot\frac{t-2}{t+2}=1.$$

   Тождество доказано.

Ответ

1) $$\frac{\sqrt[6]{x}+1}{x}$$; 2) $$\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}$$; 3) $$1$$.