Упр.22.40 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
1) (1/(x^(1/6)+1)-(x^(1/6)-1)/x^(1/3)):(x^2)^(1/3)/(x^(1/3)+2x^(1/6)+1)=(x^(1/6)+1)/x;
2) ((a+b)/((a^2)^(1/3)-(b^2)^(1/3))+((ab^2)^(1/3)-(a^2 b)^(1/3))/((a^2)^(1/3)-2(ab)^(1/3)+(b^2)^(1/3)))/(a^(1/6)-b^(1/6))=a^(1/6)+b^(1/6);
3) ((m+4v(m-4))^(1/3)·(v(m-4)+2)^(1/3))/((m-4v(m-4))^(1/3)·(v(m-4)-2)^(1/3))·(m-4v(m-4))/(m-8)=1.
$$\left(\frac{1}{\sqrt[6]{x}+1}-\frac{\sqrt[6]{x}-1}{\sqrt[3]{x}}\right):\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1}$$
Приведём выражение в скобках к общему знаменателю:
$$\frac{1}{\sqrt[6]{x}+1}-\frac{\sqrt[6]{x}-1}{\sqrt[3]{x}}= \frac{\sqrt[3]{x}-(\sqrt[6]{x}-1)(\sqrt[6]{x}+1)}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)}.$$Так как
$$ (\sqrt[6]{x}-1)(\sqrt[6]{x}+1)=\sqrt[3]{x}-1, $$
то
$$\frac{\sqrt[3]{x}-(\sqrt[3]{x}-1)}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)}=\frac{1}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)}.$$Тогда
$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)}:\frac{\sqrt[3]{x^2}}{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1} =\frac{1}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)}\cdot\frac{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[3]{x^2}}.$$Заметим, что
$$\sqrt[3]{x}+2\sqrt[6]{x}+1=(\sqrt[6]{x}+1)^2,\qquad \sqrt[3]{x^2}=(\sqrt[3]{x})^2.$$
Поэтому
$$\frac{1}{\sqrt[3]{x}(\sqrt[6]{x}+1)}\cdot\frac{(\sqrt[6]{x}+1)^2}{(\sqrt[3]{x})^2} =\frac{\sqrt[6]{x}+1}{x}.$$Тождество доказано.
$$\frac{\dfrac{a+b}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}+\dfrac{\sqrt[3]{ab^2}-\sqrt[3]{a^2b}}{\sqrt[3]{a^2}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}}}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}$$
Используем разложения:
$$a+b=(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}),$$
$$\sqrt[3]{ab^2}-\sqrt[3]{a^2b}=\sqrt[3]{ab}\,(\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{a}),$$
$$\sqrt[3]{a^2}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}=(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2.$$Тогда после преобразований получаем:
$$\frac{(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b})(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b})}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}=\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}.$$Тождество доказано.
$$\frac{\sqrt[3]{m+4\sqrt{m-4}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt{m-4}+2}}{\sqrt[3]{m-4\sqrt{m-4}}\cdot\sqrt[3]{\sqrt{m-4}-2}}\cdot\frac{m-4\sqrt{m-4}}{m-8}$$
Обозначим $$t=\sqrt{m-4}.$$ Тогда $$m=t^2+4,$$ и выражение принимает вид
$$\frac{\sqrt[3]{t^2+4t+4}\cdot\sqrt[3]{t+2}}{\sqrt[3]{t^2-4t+4}\cdot\sqrt[3]{t-2}}\cdot\frac{t^2+4-4t}{t^2-4}.$$Так как
$$t^2+4t+4=(t+2)^2,\qquad t^2-4t+4=(t-2)^2,\qquad t^2+4-4t=(t-2)^2,\qquad t^2-4=(t-2)(t+2),$$
то
$$\frac{\sqrt[3]{(t+2)^2}\cdot\sqrt[3]{t+2}}{\sqrt[3]{(t-2)^2}\cdot\sqrt[3]{t-2}}\cdot\frac{(t-2)^2}{(t-2)(t+2)} =\frac{t+2}{t-2}\cdot\frac{t-2}{t+2}=1.$$Тождество доказано.
Ответ
1) $$\frac{\sqrt[6]{x}+1}{x}$$; 2) $$\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}$$; 3) $$1$$.
