Упр.22.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
Упростите выражение:
1) $$\left(\frac{1}{a^{1/4}-1}-\frac{a^{1/4}+1}{\sqrt{a}}\right):\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2a^{1/4}+1};$$
2) $$\left(\frac{x^{1/6}+1}{x^{1/6}-1}-\frac{4x^{1/6}}{x^{1/3}-1}\right)\cdot\frac{x^{1/3}+x^{1/6}}{x^{1/6}-1};$$
3) $$\left(\frac{(a^3)^{1/4}-(b^3)^{1/4}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-a^{1/4}-b^{1/4}\right)\cdot\left(\left(\frac{a}{b}\right)^{1/4}+1\right);$$
4) $$\frac{\sqrt{a}+27}{a^{1/6}-b^{1/6}}\cdot\left(\frac{a^{1/6}-3}{a^{1/3}-3a^{1/6}+9}-\frac{(ab)^{1/6}-9}{\sqrt{a}+27}\right);$$
5) $$\frac{2a+2\sqrt{a^2-1}}{\frac{\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}}+\frac{\sqrt{a+1}}{\sqrt{a-1}}+2}.$$
$$\left(\frac{1}{\sqrt[4]{a}-1}-\frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}\right):\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2\sqrt[4]{a}+1}$$
Приведём к общему знаменателю в первой скобке:
$$\frac{\sqrt{a}-(\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt[4]{a}-1)}{(\sqrt[4]{a}-1)\sqrt{a}}:\frac{\sqrt{a}}{(\sqrt[4]{a}-1)^2}$$Так как
$$\sqrt{a}-(\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt[4]{a}-1)=\sqrt{a}-(a^{1/2}-1)=1,$$
то
$$\frac{1}{(\sqrt[4]{a}-1)\sqrt{a}}\cdot\frac{(\sqrt[4]{a}-1)^2}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt[4]{a}-1}{a}.$$$$\left(\frac{\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[6]{x}-1}-\frac{4\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x}-1}\right)\cdot\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x}-1}$$
Обозначим $$t=\sqrt[6]{x}$$, тогда $$\sqrt[3]{x}=t^2$$. Получаем:
$$\left(\frac{t+1}{t-1}-\frac{4t}{t^2-1}\right)\cdot\frac{t^2+t}{t-1}$$$$\frac{(t+1)^2-4t}{(t+1)(t-1)}\cdot\frac{t(t+1)}{t-1} =\frac{(t-1)^2}{(t+1)(t-1)}\cdot\frac{t(t+1)}{t-1}=t.$$
Значит,
$$\sqrt[6]{x}.$$$$\left(\frac{\sqrt[4]{a^3}-\sqrt[4]{b^3}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}\right)\left(\sqrt[4]{\frac{a}{b}}+1\right)$$
Используем формулу
$$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.$$
Тогда после преобразований:
$$\frac{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt{a}+\sqrt[4]{ab}+\sqrt{b})}{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}-\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}$$Получаем
$$-\sqrt[4]{a}.$$$$\frac{\sqrt{a}+27}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}\left(\frac{\sqrt[6]{a}-3}{\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9}-\frac{\sqrt[6]{ab}-9}{\sqrt{a}+27}\right)$$
Заметим, что
$$\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9=(\sqrt[6]{a}+3)(\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9),$$
а также
$$\sqrt{a}+27=(\sqrt[6]{a}+3)(\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9).$$После сокращений:
$$\frac{\sqrt[3]{a}-9}{\sqrt{a}+27}-\frac{\sqrt[6]{ab}-9}{\sqrt{a}+27} =\frac{\sqrt[3]{a}-\sqrt[6]{ab}}{\sqrt{a}+27}.$$Тогда
$$\frac{\sqrt{a}+27}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}\cdot\frac{\sqrt[3]{a}-\sqrt[6]{ab}}{\sqrt{a}+27} =\frac{\sqrt[3]{a}-\sqrt[6]{ab}}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}.$$Так как
$$\sqrt[3]{a}-\sqrt[6]{ab}=\sqrt[6]{a}\,(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}),$$
то
$$\sqrt[6]{a}.$$$$\frac{2a+2\sqrt{a^2-1}}{\sqrt[3]{\frac{a-1}{a+1}}+\sqrt[3]{\frac{a+1}{a-1}}+2}$$
Обозначим
$$u=\sqrt[3]{\frac{a-1}{a+1}}.$$
Тогда
$$\sqrt[3]{\frac{a+1}{a-1}}=\frac{1}{u},$$
и знаменатель равен
$$u+\frac{1}{u}+2=\frac{(u+1)^2}{u}.$$Кроме того,
$$2a+2\sqrt{a^2-1}=2\sqrt{a^2-1}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2-1}}+1\right),$$
и после преобразований получаем
$$\sqrt[6]{a^2-1}.$$
Ответ
- $$\frac{\sqrt[4]{a}-1}{a}$$
- $$\sqrt[6]{x}$$
- $$-\sqrt[4]{a}$$
- $$\sqrt[6]{a}$$
- $$\sqrt[6]{a^2-1}$$
