Упр.22.39 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) (1/(a^(1/4)-1)-(a^(1/4)+1)/va):va/(va-2a^(1/4)+1);
2) ((x^(1/6)+1)/(x^(1/6)-1)-4x^(1/6)/(x^(1/3)-1))·(x^(1/3)+x^(1/6))/(x^(1/6)-1);
3) (((a^3)^(1/4)-(b^3)^(1/4))/(va-vb)-a^(1/4)-b^(1/4))·((a/b)^(1/4)+1);
4) ((va+27)/(a^(1/6)-b^(1/6))·((a^(1/6)-3)/(a^(1/3)-3a^(1/6)+9)-((ab)^(1/6)-9)/(va+27));
5) (2a+2v(a^2-1))/(v(a-1)/v(a+1)+v(a+1)/v(a-1)+2).

1. $$\left(\frac{1}{\sqrt[4]{a}-1}-\frac{\sqrt[4]{a}+1}{\sqrt{a}}\right):\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-2\sqrt[4]{a}+1}$$

   Приведём к общему знаменателю в первой скобке:
   $$\frac{\sqrt{a}-(\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt[4]{a}-1)}{(\sqrt[4]{a}-1)\sqrt{a}}:\frac{\sqrt{a}}{(\sqrt[4]{a}-1)^2}$$

   Так как
   $$\sqrt{a}-(\sqrt[4]{a}+1)(\sqrt[4]{a}-1)=\sqrt{a}-(a^{1/2}-1)=1,$$
   то
   $$\frac{1}{(\sqrt[4]{a}-1)\sqrt{a}}\cdot\frac{(\sqrt[4]{a}-1)^2}{\sqrt{a}}=\frac{\sqrt[4]{a}-1}{a}.$$

2. $$\left(\frac{\sqrt[6]{x}+1}{\sqrt[6]{x}-1}-\frac{4\sqrt[6]{x}}{\sqrt[3]{x}-1}\right)\cdot\frac{\sqrt[3]{x}+\sqrt[6]{x}}{\sqrt[6]{x}-1}$$

   Обозначим $$t=\sqrt[6]{x}$$, тогда $$\sqrt[3]{x}=t^2$$. Получаем:
   $$\left(\frac{t+1}{t-1}-\frac{4t}{t^2-1}\right)\cdot\frac{t^2+t}{t-1}$$

   $$\frac{(t+1)^2-4t}{(t+1)(t-1)}\cdot\frac{t(t+1)}{t-1} =\frac{(t-1)^2}{(t+1)(t-1)}\cdot\frac{t(t+1)}{t-1}=t.$$

   Значит,
   $$\sqrt[6]{x}.$$

3. $$\left(\frac{\sqrt[4]{a^3}-\sqrt[4]{b^3}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}\right)\left(\sqrt[4]{\frac{a}{b}}+1\right)$$

   Используем формулу
   $$\sqrt{a}-\sqrt{b}=\frac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}.$$
   Тогда после преобразований:
   $$\frac{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt{a}+\sqrt[4]{ab}+\sqrt{b})}{(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})}-\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}$$

   Получаем
   $$-\sqrt[4]{a}.$$

4. $$\frac{\sqrt{a}+27}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}\left(\frac{\sqrt[6]{a}-3}{\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9}-\frac{\sqrt[6]{ab}-9}{\sqrt{a}+27}\right)$$

   Заметим, что
   $$\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9=(\sqrt[6]{a}+3)(\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9),$$
   а также
   $$\sqrt{a}+27=(\sqrt[6]{a}+3)(\sqrt[3]{a}-3\sqrt[6]{a}+9).$$

   После сокращений:
   $$\frac{\sqrt[3]{a}-9}{\sqrt{a}+27}-\frac{\sqrt[6]{ab}-9}{\sqrt{a}+27} =\frac{\sqrt[3]{a}-\sqrt[6]{ab}}{\sqrt{a}+27}.$$

   Тогда
   $$\frac{\sqrt{a}+27}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}\cdot\frac{\sqrt[3]{a}-\sqrt[6]{ab}}{\sqrt{a}+27} =\frac{\sqrt[3]{a}-\sqrt[6]{ab}}{\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}}.$$

   Так как
   $$\sqrt[3]{a}-\sqrt[6]{ab}=\sqrt[6]{a}\,(\sqrt[6]{a}-\sqrt[6]{b}),$$
   то
   $$\sqrt[6]{a}.$$

5. $$\frac{2a+2\sqrt{a^2-1}}{\sqrt[3]{\frac{a-1}{a+1}}+\sqrt[3]{\frac{a+1}{a-1}}+2}$$

   Обозначим
   $$u=\sqrt[3]{\frac{a-1}{a+1}}.$$
   Тогда
   $$\sqrt[3]{\frac{a+1}{a-1}}=\frac{1}{u},$$
   и знаменатель равен
   $$u+\frac{1}{u}+2=\frac{(u+1)^2}{u}.$$

   Кроме того,
   $$2a+2\sqrt{a^2-1}=2\sqrt{a^2-1}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2-1}}+1\right),$$
   и после преобразований получаем
   $$\sqrt[6]{a^2-1}.$$

Ответ

1. $$\frac{\sqrt[4]{a}-1}{a}$$
2. $$\sqrt[6]{x}$$
3. $$-\sqrt[4]{a}$$
4. $$\sqrt[6]{a}$$
5. $$\sqrt[6]{a^2-1}$$