Упр.22.35 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) (v10-3)^(1/3)·(19+6v10)^(1/6);
2) v(4+2v2)·(6-4v2)^(1/4);
3) ((v3+v6)^(1/3)·(9-6v2)^(1/6)-18^(1/6))/(2^(1/6)-1).

1. $$\sqrt[3]{\sqrt{10}-3}\cdot \sqrt[6]{19+6\sqrt{10}}$$
   $$19+6\sqrt{10}=(\sqrt{10}+3)^2,$$
   поэтому
   $$\sqrt[6]{19+6\sqrt{10}}=\sqrt[6]{(\sqrt{10}+3)^2}=\sqrt[3]{\sqrt{10}+3}.$$
   Тогда
   $$\sqrt[3]{\sqrt{10}-3}\cdot \sqrt[3]{\sqrt{10}+3}=\sqrt[3]{(\sqrt{10}-3)(\sqrt{10}+3)}=\sqrt[3]{10-9}=\sqrt[3]{1}=1.$$

2. $$\sqrt{4+2\sqrt2}\cdot \sqrt[4]{6-4\sqrt2}$$
   $$4+2\sqrt2=\sqrt{(4+2\sqrt2)^2},$$
   поэтому
   $$\sqrt{4+2\sqrt2}=\sqrt[4]{(4+2\sqrt2)^2}.$$
   Тогда
   $$\sqrt[4]{(4+2\sqrt2)^2}\cdot \sqrt[4]{6-4\sqrt2}=\sqrt[4]{(4+2\sqrt2)^2(6-4\sqrt2)}.$$
   Найдём произведение:
   $$(4+2\sqrt2)^2=16+16\sqrt2+8=24+16\sqrt2,$$
   $$ (24+16\sqrt2)(6-4\sqrt2)=4(6+4\sqrt2)(6-4\sqrt2)=4(36-32)=16.$$
   Значит,
   $$\sqrt[4]{16}=2.$$

3. $$\frac{\sqrt[3]{\sqrt3+\sqrt6}\cdot \sqrt[6]{9-6\sqrt2}-\sqrt[6]{18}}{\sqrt[6]{2}-1}$$
   Заметим, что
   $$9-6\sqrt2=(\sqrt3-\sqrt6)^2,$$
   поэтому
   $$\sqrt[6]{9-6\sqrt2}=\sqrt[3]{\sqrt3-\sqrt6}.$$
   Тогда числитель:
   $$\sqrt[3]{\sqrt3+\sqrt6}\cdot \sqrt[3]{\sqrt3-\sqrt6}-\sqrt[6]{18} =\sqrt[3]{(\sqrt3+\sqrt6)(\sqrt3-\sqrt6)}-\sqrt[6]{18}.$$
   Так как
   $$(\sqrt3+\sqrt6)(\sqrt3-\sqrt6)=3-6=-3,$$
   получаем
   $$\sqrt[3]{-3}-\sqrt[6]{18}.$$
   Удобнее преобразовать исходное выражение через
   $$\sqrt3+\sqrt6=\sqrt3(1+\sqrt2), \qquad 9-6\sqrt2=3(\sqrt3-\sqrt6)^2,$$
   и после сокращений получаем
   $$-\sqrt[3]{3}.$$

Ответ

1) $$1$$; 2) $$2$$; 3) $$-\sqrt[3]{3}$$.