Упр.22.33 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

1) $$\left((\sqrt{6}-2)^3\right)^{\frac{1}{6}}$$; 3) $$\left((\sqrt{2}-\sqrt{3})^3\right)^{\frac{1}{9}}$$; 2) $$\left((1-\sqrt{2})^2\right)^{\frac{1}{4}}$$; 4) $$\left((\sqrt{3}-2)^2\right)^{\frac{1}{6}}$$.

1. $$\left(\left(\sqrt{6}-2\right)^3\right)^{\frac16}=\left(\sqrt{6}-2\right)^{\frac{3}{6}}=\left(\sqrt{6}-2\right)^{\frac12}=\sqrt{\sqrt{6}-2}.$$
2. $$\left(\left(1-\sqrt{2}\right)^2\right)^{\frac14}=\left|1-\sqrt{2}\right|^{\frac12}=\sqrt{\left|1-\sqrt{2}\right|}.$$
   Так как $$\sqrt{2}>1,$$ то $$1-\sqrt{2}<0,$$ значит $$\left|1-\sqrt{2}\right|=\sqrt{2}-1.$$ Следовательно, $$\left(\left(1-\sqrt{2}\right)^2\right)^{\frac14}=\sqrt{\sqrt{2}-1}.$$
3. $$\left(\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^3\right)^{\frac19}=\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^{\frac{3}{9}}=\left(\sqrt{2}-\sqrt{3}\right)^{\frac13}=\sqrt[3]{\sqrt{2}-\sqrt{3}}.$$
4. $$\left(\left(\sqrt{3}-2\right)^2\right)^{\frac16}=\left|\sqrt{3}-2\right|^{\frac13}=\sqrt[3]{\left|\sqrt{3}-2\right|}.$$
   Так как $$2>\sqrt{3},$$ то $$\sqrt{3}-2<0,$$ значит $$\left|\sqrt{3}-2\right|=2-\sqrt{3}.$$ Следовательно, $$\left(\left(\sqrt{3}-2\right)^2\right)^{\frac16}=\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}.$$

Ответ

1) $$\sqrt{\sqrt{6}-2}$$; 2) $$\sqrt{\sqrt{2}-1}$$; 3) $$\sqrt[3]{\sqrt{2}-\sqrt{3}}$$; 4) $$\sqrt[3]{2-\sqrt{3}}$$.