Упр.22.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Докажите, что значение выражения является целым числом:
   $$\frac{1}{\sqrt[3]{1^2}+\sqrt[3]{1\cdot2}+\sqrt[3]{2^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{2^2}+\sqrt[3]{2\cdot3}+\sqrt[3]{3^2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt[3]{999^2}+\sqrt[3]{999\cdot1000}+\sqrt[3]{1000^2}}$$

Обозначим

$$S=\frac{1}{\sqrt[3]{1^2}+\sqrt[3]{1\cdot 2}+\sqrt[3]{2^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{2^2}+\sqrt[3]{2\cdot 3}+\sqrt[3]{3^2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt[3]{999^2}+\sqrt[3]{999\cdot 1000}+\sqrt[3]{1000^2}}.$$

Используем формулу суммы кубов:

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

Тогда для каждого слагаемого при $$a=\sqrt[3]{k}$$ и $$b=\sqrt[3]{k+1}$$ получаем

$$\sqrt[3]{k^2}+\sqrt[3]{k(k+1)}+\sqrt[3]{(k+1)^2} = a^2+ab+b^2 = \frac{a^3-b^3}{a-b} = \frac{k-(k+1)}{\sqrt[3]{k}-\sqrt[3]{k+1}}.$$

Значит,

$$\frac{1}{\sqrt[3]{k^2}+\sqrt[3]{k(k+1)}+\sqrt[3]{(k+1)^2}} = \frac{\sqrt[3]{k}-\sqrt[3]{k+1}}{k-(k+1)} = \sqrt[3]{k+1}-\sqrt[3]{k}.$$

Тогда сумма телескопируется:

$$S=(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{1})+(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})+\cdots+(\sqrt[3]{1000}-\sqrt[3]{999}).$$

Все промежуточные слагаемые сокращаются, и остаётся

$$S=\sqrt[3]{1000}-\sqrt[3]{1}=10-1=9.$$

Следовательно, значение выражения — целое число.

Ответ

$$9$$