Упр.22.31 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1/((1^2)^(1/3)+(1·2)^(1/3)+(2^2)^(1/3))+1/((2^2)^(1/3)+(2·3)^(1/3)+(3^2)^(1/3))+…+1/((999^2)^(1/3)+(999·1000)^(1/3)+(1000^2)^(1/3))

Обозначим

$$ S=\frac{1}{\sqrt[3]{1^2}+\sqrt[3]{1\cdot 2}+\sqrt[3]{2^2}}+\frac{1}{\sqrt[3]{2^2}+\sqrt[3]{2\cdot 3}+\sqrt[3]{3^2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt[3]{999^2}+\sqrt[3]{999\cdot 1000}+\sqrt[3]{1000^2}}. $$

Используем формулу суммы кубов:

$$ a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2). $$

Тогда для каждого слагаемого при $a=\sqrt[3]{k}$ и $b=\sqrt[3]{k+1}$ получаем

$$ \sqrt[3]{k^2}+\sqrt[3]{k(k+1)}+\sqrt[3]{(k+1)^2} = a^2+ab+b^2 = \frac{a^3-b^3}{a-b} = \frac{k-(k+1)}{\sqrt[3]{k}-\sqrt[3]{k+1}}. $$

Значит,

$$ \frac{1}{\sqrt[3]{k^2}+\sqrt[3]{k(k+1)}+\sqrt[3]{(k+1)^2}} = \frac{\sqrt[3]{k}-\sqrt[3]{k+1}}{k-(k+1)} = \sqrt[3]{k+1}-\sqrt[3]{k}. $$

Тогда сумма телескопируется:

$$ S=(\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{1})+(\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2})+\cdots+(\sqrt[3]{1000}-\sqrt[3]{999}). $$

Все промежуточные слагаемые сокращаются, и остаётся

$$ S=\sqrt[3]{1000}-\sqrt[3]{1}=10-1=9. $$

Следовательно, значение выражения — целое число.

Ответ

$$9$$