Упр.22.27 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Вынесите множитель из-под знака корня: а) $$(-m^9)^{\frac{1}{4}}$$; б) $$(a^8b^{13})^{\frac{1}{4}}$$, если $$a>0$$; в) $$x^6y^7$$, если $$x?0$$; г) $$(32m^{18}n^{17})^{\frac{1}{4}}$$; д) $$(162a^4b^8c^{12})^{\frac{1}{4}}$$, если $$a>0$$, $$c<0$$; е) $$(a^{15}b^{15})^{\frac{1}{4}}$$; ж) $$(-a^{25}b^{50})^{\frac{1}{8}}$$.

1. $$\sqrt[4]{-m^9}=\sqrt[4]{-m\cdot m^8}=\sqrt[4]{-m\cdot (m^2)^4}=m^2\sqrt[4]{-m}.$$
   Так как подкоренное выражение неотрицательно, то $$-m\ge 0,$$ значит $$m\le 0.$$
2. $$\sqrt[4]{a^8b^{13}}=\sqrt[4]{a^8\cdot b^{12}\cdot b}=\sqrt[4]{(a^2)^4\cdot (b^3)^4\cdot b}=a^2b^3\sqrt[4]{b}.$$
   При $$a>0$$ имеем $$a^8b^{13}\ge 0,$$ значит $$b\ge 0.$$
3. $$\sqrt[6]{x^6y^7}=\sqrt[6]{x^6\cdot y^6\cdot y}=\sqrt[6]{(x)^6\cdot (y)^6\cdot y}=|x|\cdot |y|\sqrt[6]{y}.$$
   Так как $$x\ne 0,$$ а подкоренное выражение неотрицательно, то $$y\ge 0,$$ поэтому $$|y|=y.$$
   Тогда
   $$\sqrt[6]{x^6y^7}=|x|\,y\sqrt[6]{y}.$$
4. $$\sqrt[4]{32m^{18}n^{17}}=\sqrt[4]{16\cdot 2\cdot m^{16}\cdot m^2\cdot n^{16}\cdot n}$$
   $$=2m^4n^4\sqrt[4]{2m^2n}.$$
   Из условия существования корня следует $$n\ge 0.$$
5. $$\sqrt[4]{162a^4b^8c^{12}}=\sqrt[4]{81\cdot 2\cdot a^4\cdot b^8\cdot c^{12}}$$
   $$=3\cdot |a|\cdot b^2\cdot |c|^3\sqrt[4]{2}.$$
   Так как $$a>0,$$ то $$|a|=a,$$ а при $$c<0$$ имеем $$|c|=-c,$$ значит $$3ab^2(-c)^3\sqrt[4]{2}=-3ab^2c^3\sqrt[4]{2}.$$
6. $$\sqrt[4]{a^{15}b^{15}}=\sqrt[4]{a^{12}\cdot a^3\cdot b^{12}\cdot b^3}$$
   $$=\sqrt[4]{(a^3)^4\cdot (b^3)^4\cdot a^3b^3}=a^3b^3\sqrt[4]{a^3b^3}.$$
   Для существования корня нужно $$a^{15}b^{15}\ge 0,$$ то есть $$ab\ge 0.$$
7. $$\sqrt[8]{-a^{25}b^{50}}=\sqrt[8]{-a\cdot a^{24}\cdot b^{48}\cdot b^2}$$
   $$=\sqrt[8]{-a\cdot (a^3)^8\cdot (b^6)^8\cdot b^2}=-a^3b^6\sqrt[8]{-ab^2}.$$
   Так как подкоренное выражение неотрицательно, то $$-a^{25}b^{50}\ge 0,$$ значит $$a\le 0.$$

Ответ

1) $$m^2\sqrt[4]{-m}$$; 2) $$a^2b^3\sqrt[4]{b}$$; 3) $$|x|\,y\sqrt[6]{y}$$; 4) $$2m^4n^4\sqrt[4]{2m^2n}$$; 5) $$-3ab^2c^3\sqrt[4]{2}$$; 6) $$a^3b^3\sqrt[4]{a^3b^3}$$; 7) $$-a^3b^6\sqrt[8]{-ab^2}$$.