Упр.22.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$x$$ выполняется равенство:
   1) $$(x^2-4)^{\frac{1}{4}}=(x-2)^{\frac{1}{4}}\cdot(x+2)^{\frac{1}{4}}$$;
   2) $$((x-3)(7-x))^{\frac{1}{8}}=(x-3)^{\frac{1}{8}}\cdot(7-x)^{\frac{1}{8}}$$;
   3) $$((x-6)(x-10))^{\frac{1}{3}}=(x-6)^{\frac{1}{3}}\cdot(x-10)^{\frac{1}{3}}$$?

1. Для равенства

   $$\sqrt[4]{x^2-4}=\sqrt[4]{x-2}\cdot\sqrt[4]{x+2}$$

   нужно, чтобы оба множителя под корнями были неотрицательны:

   $$x-2\ge 0,\qquad x+2\ge 0.$$

   Отсюда получаем:

   $$x\ge 2.$$

   При таких значениях $$x$$ выполняется

   $$x^2-4=(x-2)(x+2),$$

   поэтому равенство верно.

2. Рассмотрим равенство

   $$\sqrt[8]{(x-3)(7-x)}=\sqrt[8]{x-3}\cdot\sqrt[8]{7-x}.$$

   Оно имеет смысл, если

   $$x-3\ge 0,\qquad 7-x\ge 0.$$

   Следовательно,

   $$3\le x\le 7.$$

   На этом промежутке

   $$(x-3)(7-x)$$

   равно произведению подкоренных выражений, значит равенство выполняется.

3. Для равенства

   $$\sqrt[3]{(x-6)(x-10)}=\sqrt[3]{x-6}\cdot\sqrt[3]{x-10}$$

   ограничений на $$x$$ нет, так как кубический корень определён при любых действительных значениях подкоренного выражения.

   Кроме того, для кубического корня верно:

   $$\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}$$

   при любых действительных $$a$$ и $$b$$. Значит, равенство выполняется при всех $$x\in\mathbb{R}$$.

Ответ

1) $$x\in[2;+\infty)$$; 2) $$x\in[3;7]$$; 3) $$x\in(-\infty;+\infty)$$.