Упр.22.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) (ab)^(1/4)=(-a)^(1/4)·(-b)^(1/4); 3) (ab)^(1/5)=a^(1/5)·b^(1/5);
2) (-ab)^(1/4)=a^(1/4)·(-b)^(1/4); 4) (ab)^(1/5)=(-a)^(1/5)·(-b)^(1/5)?

1. $$\sqrt[4]{ab}=\sqrt[4]{-a}\cdot\sqrt[4]{-b}$$

   Чтобы равенство имело смысл, нужно:

   $$-a\ge 0,\quad -b\ge 0$$

   Отсюда

   $$a\le 0,\quad b\le 0.$$

2. $$\sqrt[4]{-ab}=\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{-b}$$

   Для существования корней необходимо:

   $$a\ge 0,\quad -b\ge 0$$

   То есть

   $$a\ge 0,\quad b\le 0.$$

3. $$\sqrt[5]{ab}=\sqrt[5]{a}\cdot\sqrt[5]{b}$$

   Поскольку корень пятой степени определён при любых действительных значениях подкоренного выражения, равенство выполняется при любых $a$ и $b$.

4. $$\sqrt[5]{ab}=\sqrt[5]{-a}\cdot\sqrt[5]{-b}$$

   Корень пятой степени определён при любых действительных значениях, значит равенство выполняется при любых $a$ и $b$.

Ответ

1) $$a\le 0,\ b\le 0$$

2) $$a\ge 0,\ b\le 0$$

3) $$a,b\in\mathbb{R}$$

4) $$a,b\in\mathbb{R}$$