Упр.22.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ и $$b$$ выполняется равенство:
   1) $$(ab)^{\frac{1}{4}}=(-a)^{\frac{1}{4}}\cdot(-b)^{\frac{1}{4}}$$;
   3) $$(ab)^{\frac{1}{5}}=a^{\frac{1}{5}}\cdot b^{\frac{1}{5}}$$;
   2) $$(-ab)^{\frac{1}{4}}=a^{\frac{1}{4}}\cdot(-b)^{\frac{1}{4}}$$;
   4) $$(ab)^{\frac{1}{5}}=(-a)^{\frac{1}{5}}\cdot(-b)^{\frac{1}{5}}$$?

1. $$\sqrt[4]{ab}=\sqrt[4]{-a}\cdot\sqrt[4]{-b}$$

   Чтобы равенство имело смысл, нужно:

   $$-a\ge 0,\quad -b\ge 0$$

   Отсюда

   $$a\le 0,\quad b\le 0.$$

2. $$\sqrt[4]{-ab}=\sqrt[4]{a}\cdot\sqrt[4]{-b}$$

   Для существования корней необходимо:

   $$a\ge 0,\quad -b\ge 0$$

   То есть

   $$a\ge 0,\quad b\le 0.$$

3. $$\sqrt[5]{ab}=\sqrt[5]{a}\cdot\sqrt[5]{b}$$

   Поскольку корень пятой степени определён при любых действительных значениях подкоренного выражения, равенство выполняется при любых $$a$$ и $$b$$.

4. $$\sqrt[5]{ab}=\sqrt[5]{-a}\cdot\sqrt[5]{-b}$$

   Корень пятой степени определён при любых действительных значениях, значит равенство выполняется при любых $$a$$ и $$b$$.

Ответ

1) $$a\le 0,\ b\le 0$$

2) $$a\ge 0,\ b\le 0$$

3) $$a,b\in\mathbb{R}$$

4) $$a,b\in\mathbb{R}$$