Упр.22.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

При каких значениях $$a$$ выполняется равенство:
1) $$\left((a-5)^3\right)^{\frac14}=\left((a-5)^{\frac14}\right)^3$$;
2) $$\left((a-5)^4\right)^{\frac13}=\left((a-5)^{\frac13}\right)^4$$;
3) $$\left((a-2)^4\right)^{\frac14}=\left((a-2)^{\frac14}\right)^4$$;
4) $$\left(a(a-1)\right)^{\frac16}=a^{\frac16}(1-a)^{\frac16}$$;
5) $$(a-4)^{\frac1{10}}\cdot\left((a-4)^9\right)^{\frac1{10}}=a-4$$;
6) $$\frac{(a-2)^{\frac1{12}}}{(3-a)^{\frac1{12}}}=\left(\frac{2-a}{a-3}\right)^{\frac1{12}}$$?

Подробный ответ

$$\sqrt[4]{(a-5)^3}=\left(\sqrt[4]{a-5}\right)^3$$
Чтобы выражения имели смысл, нужно $$a-5\ge 0,$$ то есть $$a\ge 5.$$
При этом равенство верно, так как обе части равны $$\left(a-5\right)^{3/4}.$$
$$\sqrt[3]{(a-5)^4}=\left(\sqrt[3]{a-5}\right)^4$$
Для кубического корня ограничений на $$a$$ нет, поэтому $$a\in\mathbb{R}.$$
Равенство верно, так как обе части равны $$\left(a-5\right)^{4/3}.$$
$$\sqrt[4]{(a-2)^4}=\left(\sqrt[4]{a-2}\right)^4$$
Правая часть имеет смысл при $$a-2\ge 0,$$ то есть $$a\ge 2.$$
Тогда обе части равны $$a-2.$$
$$\sqrt[6]{a(a-1)}=\sqrt[6]{a}\,\sqrt[6]{1-a}$$
Левая часть определена при $$a(a-1)\ge 0,$$ то есть $$a\le 0$$ или $$a\ge 1.$$
Правая часть определена при одновременном выполнении условий
$$a\ge 0,\qquad 1-a\ge 0,$$
откуда $$0\le a\le 1.$$
Пересечение условий даёт $$a=0$$ или $$a=1.$$
$$\sqrt[10]{a-4}\cdot \sqrt[10]{(a-4)^9}=a-4$$
Выражение имеет смысл при $$a-4\ge 0,$$ то есть $$a\ge 4.$$
Тогда
$$\sqrt[10]{a-4}\cdot \sqrt[10]{(a-4)^9}=\sqrt[10]{(a-4)^{10}}=a-4.$$
$$\frac{\sqrt[12]{a-2}}{\sqrt[12]{3-a}}=\sqrt[12]{\frac{2-a}{a-3}}$$
Левая часть имеет смысл при
$$a-2\ge 0,\qquad 3-a>0,$$
то есть $$2\le a<3.$$
При этих значениях
$$\frac{a-2}{3-a}=\frac{2-a}{a-3},$$
поэтому равенство выполняется.