Упр.22.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. При каких значениях $$a$$ выполняется равенство:
   1) $$(a^{30})^{\frac{1}{6}}=a^5$$;
   3) $$(a^4)^{\frac{1}{4}}=(a^{\frac{1}{4}})^4$$;
   2) $$(a^{30})^{\frac{1}{6}}=-a^5$$;
   4) $$(a^4)^{\frac{1}{4}}=((-a)^{\frac{1}{4}})^4$$?

1. $$\left(a^{30}\right)^{\frac16}=a^5$$
   
   Левая часть равна $$\sqrt[6]{a^{30}}=\sqrt[6]{\left(a^5\right)^6}=|a^5|.$$
   Тогда нужно, чтобы
   $$|a^5|=a^5,$$
   а это возможно при
   $$a^5\ge 0 \quad \Rightarrow \quad a\ge 0.$$
2. $$\left(a^{30}\right)^{\frac16}=-a^5$$
   
   Как и в первом пункте,
   $$\left(a^{30}\right)^{\frac16}=|a^5|.$$
   Значит,
   $$|a^5|=-a^5,$$
   откуда
   $$a^5\le 0 \quad \Rightarrow \quad a\le 0.$$
3. $$\left(a^4\right)^{\frac14}=\left(a^{\frac14}\right)^4$$
   
   Чтобы выражение $$a^{\frac14}$$ имело смысл, нужно
   $$a\ge 0.$$
   При этом
   $$\left(a^4\right)^{\frac14}=\sqrt[4]{a^4}=a,$$
   а
   $$\left(a^{\frac14}\right)^4=a.$$
   Следовательно, равенство выполняется при
   $$a\ge 0.$$
4. $$\left(a^4\right)^{\frac14}=\left(\left(-a\right)^{\frac14}\right)^4$$
   
   Чтобы выражение $$(-a)^{\frac14}$$ имело смысл, нужно
   $$-a\ge 0,$$
   то есть
   $$a\le 0.$$
   При этом обе части равны $$-a,$$ значит равенство выполняется при
   $$a\le 0.$$

Ответ

1) $$a\in[0;+\infty)$$; 2) $$a\in(-\infty;0]$$; 3) $$a\in[0;+\infty)$$; 4) $$a\in(-\infty;0]$$.