Упр.22.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

1. а) $$(\sqrt{m}+\sqrt{n})(m^{1/4}+n^{1/4})(m^{1/8}+n^{1/8})(m^{1/8}-n^{1/8})$$;
   б) $$(a^{1/3}-(ab)^{1/6}+b^{1/3})(a^{1/6}+b^{1/6})$$.

1) Преобразуем степени в корни:

$$(\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n})(\sqrt[8]{m}+\sqrt[8]{n})(\sqrt[8]{m}-\sqrt[8]{n})$$

Сначала перемножим последние два множителя:

$$(\sqrt[8]{m}+\sqrt[8]{n})(\sqrt[8]{m}-\sqrt[8]{n})=\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n}$$

Тогда

$$(\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n})$$

Снова применим формулу разности квадратов:

$$(\sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n})=\sqrt{m}-\sqrt{n}$$

Получаем:

$$(\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt{m}-\sqrt{n})=m-n$$

2) Перепишем выражение через степени:

$$\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[6]{ab}+\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}\right)$$

Заметим, что

$$\sqrt[3]{a}=\left(\sqrt[6]{a}\right)^2,\quad \sqrt[3]{b}=\left(\sqrt[6]{b}\right)^2,\quad \sqrt[6]{ab}=\sqrt[6]{a}\sqrt[6]{b}$$

Тогда

$$\left(\left(\sqrt[6]{a}\right)^2-\sqrt[6]{a}\sqrt[6]{b}+\left(\sqrt[6]{b}\right)^2\right)\left(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}\right)$$

Используем формулу:

$$(x^2-xy+y^2)(x+y)=x^3+y^3$$

при $$x=\sqrt[6]{a}$$ и $$y=\sqrt[6]{b}$$. Тогда

$$\left(\sqrt[6]{a}\right)^3+\left(\sqrt[6]{b}\right)^3=\sqrt{a}+\sqrt{b}$$

Ответ

1) $$m-n$$; 2) $$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$.