Упр.22.18 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) (vm+vn)(m^(1/4)+n^(1/4))(m^(1/8)+n^(1/8))(m^(1/8)-n^(1/8));
2) (a^(1/3)-(ab)^(1/6)+b^(1/3))(a^(1/6)+b^(1/6)).

1) Преобразуем степени в корни:

$$ (\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n})(\sqrt[8]{m}+\sqrt[8]{n})(\sqrt[8]{m}-\sqrt[8]{n}) $$

Сначала перемножим последние два множителя:

$$ (\sqrt[8]{m}+\sqrt[8]{n})(\sqrt[8]{m}-\sqrt[8]{n})=\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n} $$

Тогда

$$ (\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n}) $$

Снова применим формулу разности квадратов:

$$ (\sqrt[4]{m}+\sqrt[4]{n})(\sqrt[4]{m}-\sqrt[4]{n})=\sqrt{m}-\sqrt{n} $$

Получаем:

$$ (\sqrt{m}+\sqrt{n})(\sqrt{m}-\sqrt{n})=m-n $$

2) Перепишем выражение через степени:

$$ \left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[6]{ab}+\sqrt[3]{b}\right)\left(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}\right) $$

Заметим, что

$$ \sqrt[3]{a}=\left(\sqrt[6]{a}\right)^2,\quad \sqrt[3]{b}=\left(\sqrt[6]{b}\right)^2,\quad \sqrt[6]{ab}=\sqrt[6]{a}\sqrt[6]{b} $$

Тогда

$$ \left(\left(\sqrt[6]{a}\right)^2-\sqrt[6]{a}\sqrt[6]{b}+\left(\sqrt[6]{b}\right)^2\right)\left(\sqrt[6]{a}+\sqrt[6]{b}\right) $$

Используем формулу:

$$ (x^2-xy+y^2)(x+y)=x^3+y^3 $$

при $$x=\sqrt[6]{a}$$ и $$y=\sqrt[6]{b}$$. Тогда

$$ \left(\sqrt[6]{a}\right)^3+\left(\sqrt[6]{b}\right)^3=\sqrt{a}+\sqrt{b} $$

Ответ

1) $$m-n$$; 2) $$\sqrt{a}+\sqrt{b}$$.