Упр.22.17 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Упростите выражение:

1. $$\left(1+a^{1/3}+(a^2)^{1/3}\right)\left(1-a^{1/3}\right)$$;
2. $$\left(1+\sqrt{a}\right)\left(1+a^{1/4}\right)\left(1-a^{1/4}\right)$$.

1) Обозначим $$x=\sqrt[3]{a}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{a^2}=x^2,$$ и выражение принимает вид

$$(1+x+x^2)(1-x).$$

Используем формулу

$$(1+x+x^2)(1-x)=1-x^3.$$

Тогда

$$1-x^3=1-a.$$

2) Обозначим $$x=\sqrt[4]{a}.$$ Тогда $$\sqrt{a}=x^2,$$ и

$$(1+\sqrt{a})(1+\sqrt[4]{a})(1-\sqrt[4]{a})=(1+x^2)(1+x)(1-x).$$

Сначала перемножим последние два множителя:

$$(1+x)(1-x)=1-x^2.$$

Тогда

$$(1+x^2)(1-x^2)=1-x^4.$$

Так как $$x^4=a,$$ получаем

$$1-a.$$

При этом для второго выражения должно быть $$a\ge 0.$$

Ответ

1) $$1-a$$;

2) $$1-a,\ a\ge 0.$$