Упр.21.8 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите область определения выражения:
   1) $$\left(x-2\right)^{\frac{1}{4}}$$;
   2) $$\left(x^2-4x+3\right)^{\frac{1}{6}}$$;
   3) $$\left(3-\lvert x\rvert\right)^{\frac{1}{8}}$$;
   4) $$\left(\lvert x\rvert(x-6)\right)^{\frac{1}{10}}$$.

1. Для выражения $$\sqrt[4]{x-2}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$x-2 \ge 0,$$

   откуда

   $$x \ge 2.$$

   Следовательно,

   $$D = [2; +\infty).$$

2. Для выражения $$\sqrt[6]{x^2-4x+3}$$ нужно, чтобы

   $$x^2-4x+3 \ge 0.$$

   Разложим квадратный трёхчлен на множители:

   $$x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$$

   Тогда

   $$(x-1)(x-3) \ge 0.$$

   Произведение неотрицательно при

   $$x \le 1 \quad \text{или} \quad x \ge 3.$$

   Значит,

   $$D = (-\infty; 1] \cup [3; +\infty).$$

3. Для выражения $$\sqrt[8]{3-|x|}$$ требуется

   $$3-|x| \ge 0,$$

   то есть

   $$|x| \le 3.$$

   Отсюда

   $$-3 \le x \le 3.$$

   Следовательно,

   $$D = [-3; 3].$$

4. Для выражения $$\sqrt[10]{|x|(x-6)}$$ нужно, чтобы

   $$|x|(x-6) \ge 0.$$

   Так как $$|x| \ge 0,$$ то произведение неотрицательно, если:

   • $$|x|=0,$$ то есть $$x=0;$$
   • или $$x-6 \ge 0,$$ то есть $$x \ge 6.$$

   Значит,

   $$D = \{0\} \cup [6; +\infty).$$

Ответ

1) $$[2; +\infty)$$; 2) $$(-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$$; 3) $$[-3; 3]$$; 4) $$\{0\} \cup [6; +\infty)$$.