Упр.21.7 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. Найдите область определения выражения:
   1) $$\left(x-1\right)^{\frac{1}{3}}$$; 2) $$\left(x^2-x-2\right)^{\frac{1}{4}}$$; 3) $$\left(\lvert x\rvert-1\right)^{\frac{1}{4}}$$; 4) $$\left(x^2\left(x-3\right)\right)^{\frac{1}{6}}$$.

1. Для выражения $$\sqrt[3]{x-1}$$ ограничений нет, так как корень нечётной степени определён при любых значениях подкоренного выражения.

   Следовательно, $$x \in (-\infty; +\infty).$$

2. Для выражения $$\sqrt[4]{x^2-x-2}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$x^2-x-2 \ge 0$$

   Разложим на множители:

   $$x^2-x-2=(x+1)(x-2)$$

   Тогда

   $$(x+1)(x-2)\ge 0$$

   Отсюда

   $$x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty).$$

3. Для выражения $$\sqrt[4]{|x|-1}$$ требуется:

   $$|x|-1 \ge 0$$

   $$|x| \ge 1$$

   Значит,

   $$x \le -1 \quad \text{или} \quad x \ge 1.$$

   Следовательно,

   $$x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty).$$

4. Для выражения $$\sqrt[6]{x^2(x-3)}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$x^2(x-3)\ge 0$$

   Так как $$x^2 \ge 0$$ при любых $$x$$, то произведение неотрицательно, когда либо $$x^2=0,$$ либо $$x-3\ge 0.$$

   Получаем:

   $$x=0 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$

   Следовательно,

   $$x \in \{0\} \cup [3; +\infty).$$

Ответ

1) $$x \in (-\infty; +\infty)$$

2) $$x \in (-\infty; -1] \cup [2; +\infty)$$

3) $$x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$$

4) $$x \in \{0\} \cup [3; +\infty)$$