Упр.21.28 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 21.28. Упростите выражение ((x^2)/(x-y)-y)·(x+(y^2)/(x+y))^(-1).

$$\left(\frac{x^2}{x-y}-y\right)\cdot\left(x+\frac{y^2}{x+y}\right)^{-1}$$

Преобразуем первую скобку:
$$\frac{x^2}{x-y}-y=\frac{x^2-y(x-y)}{x-y}=\frac{x^2-xy+y^2}{x-y}.$$

Преобразуем вторую скобку:
$$x+\frac{y^2}{x+y}=\frac{x(x+y)+y^2}{x+y}=\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}.$$

Тогда
$$\left(\frac{x^2-xy+y^2}{x-y}\right)\cdot\left(\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}\right)^{-1} =\frac{x^2-xy+y^2}{x-y}\cdot\frac{x+y}{x^2+xy+y^2}.$$

Перемножим числители и знаменатели:
$$\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{(x-y)(x^2+xy+y^2)}.$$

Используем формулы сокращённого умножения:
$$ (x+y)(x^2-xy+y^2)=x^3+y^3, $$
$$ (x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3. $$

Получаем:
$$\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}.$$

Ответ

$$\frac{x^3+y^3}{x^3-y^3}$$