Упр.21.25 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. В зависимости от значения параметра $$a$$ определите количество корней уравнения:
   1) $$(x+1)(x-a)^{\frac{1}{4}}=0$$;
   2) $$(x-1)(x^{\frac{1}{4}}-a)=0$$.

1. $$(x+1)\sqrt[4]{x-a}=0$$

   Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

   $$x+1=0 \Rightarrow x=-1,$$

   $$\sqrt[4]{x-a}=0 \Rightarrow x-a=0 \Rightarrow x=a.$$

   Но для существования корня четвёртой степени нужно:

   $$x-a \ge 0.$$

   Проверим найденные корни:

   для $$x=-1$$ нужно $$-1-a \ge 0$$, то есть $$a \le -1$$;

   для $$x=a$$ условие выполняется всегда.

   Если $$a=-1$$, то корни совпадают: $$x=-1$$.

   Если $$a<-1$$, то получаются два различных корня: $$x=-1$$ и $$x=a$$.

2. $$(x-1)(\sqrt[4]{x}-a)=0$$

   Произведение равно нулю, если:

   $$x-1=0 \Rightarrow x=1,$$

   $$\sqrt[4]{x}-a=0 \Rightarrow \sqrt[4]{x}=a \Rightarrow x=a^4.$$

   При этом область определения:

   $$x \ge 0, \qquad a \ge 0.$$

   Корни совпадают, если

   $$a^4=1 \Rightarrow a=1 \quad (\text{так как } a \ge 0).$$

   Если $$a=0$$, то второй множитель равен $$\sqrt[4]{x}$$, и корень только один: $$x=1$$.

   Если $$a>0$$ и $$a\ne 1$$, то корни различны: $$x=1$$ и $$x=a^4$$.

Ответ

1) если $$a \ge -1$$, то один корень; если $$a<-1$$, то два корня.

2) если $$a=0$$ или $$a=1$$, то один корень; если $$a>0$$ и $$a\ne 1$$, то два корня.