Упр.21.24 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1. В зависимости от значения параметра $$a$$ определите количество корней уравнения:
   1) $$(x-a)(x+1)^{1/4}=0$$;
   3) $$(x-a)(x^{1/4}-1)=0$$;
   2) $$(x-a)(x^{1/4}+1)=0$$.

1. $$(x-a)\sqrt[4]{x+1}=0$$

   Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

   $$x-a=0 \Rightarrow x=a,$$

   $$\sqrt[4]{x+1}=0 \Rightarrow x+1=0 \Rightarrow x=-1.$$

   Область определения:

   $$x+1\ge 0 \Rightarrow x\ge -1.$$

   Точка $$x=-1$$ допустима. Если $$a=-1$$, то корни совпадают, и уравнение имеет один корень. Если $$a\ne -1$$, то корней два.

2. $$(x-a)(\sqrt[4]{x}+1)=0$$

   Из первого множителя получаем:

   $$x-a=0 \Rightarrow x=a.$$

   Из второго множителя:

   $$\sqrt[4]{x}+1=0.$$

   Но $$\sqrt[4]{x}\ge 0$$ при всех допустимых $$x$$, значит $$\sqrt[4]{x}+1>0$$ и этот множитель никогда не обращается в нуль.

   Область определения:

   $$x\ge 0.$$

   Следовательно, корень есть только тогда, когда $$a$$ принадлежит области определения, то есть $$a\ge 0$$. Если $$a<0$$, корней нет.

3. $$(x-a)(\sqrt[4]{x}-1)=0$$

   Произведение равно нулю, если:

   $$x-a=0 \Rightarrow x=a,$$

   $$\sqrt[4]{x}-1=0 \Rightarrow \sqrt[4]{x}=1 \Rightarrow x=1.$$

   Область определения:

   $$x\ge 0.$$

   Оба найденных значения должны быть допустимыми. Если $$a=1$$, корни совпадают и уравнение имеет один корень. Если $$a<0$$, то $$x=a$$ не подходит, остаётся только $$x=1$$. Если $$0\le a<1$$ или $$a>1$$, то корни различны и их два.

Ответ

1) если $$a\le -1$$, то один корень; если $$a>-1$$, то два корня;

2) если $$a<0$$, то корней нет; если $$a\ge 0$$, то один корень;

3) если $$a<0$$ или $$a=1$$, то один корень; если $$0\le a<1$$ или $$a>1$$, то два корня.