Упр.21.23 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 21.23. Докажите, что является иррациональным число: 1) 7^(1/3); 2) 12^(1/4).

Подробный ответ

1) Предположим, что число $$\sqrt[3]{7}$$ рационально. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:

$$\sqrt[3]{7}=\frac{m}{n}, \quad m\in \mathbb{Z},\ n\in \mathbb{Z},\ n\ne 0.$$

Возведём обе части в куб:

$$7=\frac{m^3}{n^3},$$

$$7n^3=m^3.$$

Значит, $$m^3$$ делится на $$7$$, следовательно, $$m$$ делится на $$7$$. Пусть $$m=7k$$, где $$k\in \mathbb{Z}$$. Тогда

$$7n^3=(7k)^3=343k^3,$$

$$n^3=49k^3.$$

Отсюда следует, что $$n^3$$ делится на $$7$$, значит, $$n$$ тоже делится на $$7$$. Получаем противоречие с тем, что дробь $$\frac{m}{n}$$ несократима.

Следовательно, $$\sqrt[3]{7}$$ — иррациональное число.

2) Предположим, что число $$\sqrt[4]{12}$$ рационально. Тогда

$$\sqrt[4]{12}=\frac{m}{n}, \quad m\in \mathbb{Z},\ n\in \mathbb{Z},\ n\ne 0,$$

где дробь $$\frac{m}{n}$$ несократима. Возведём обе части в четвёртую степень:

$$12=\frac{m^4}{n^4},$$

$$12n^4=m^4.$$

Значит, $$m^4$$ делится на $$12$$, а значит, и на $$2$$ и на $$3$$. Следовательно, $$m$$ делится на $$2$$ и на $$3$$, то есть на $$6$$. Пусть $$m=6k$$, где $$k\in \mathbb{Z}$$. Тогда

$$12n^4=(6k)^4=1296k^4,$$

$$n^4=108k^4.$$

Отсюда $$n^4$$ делится на $$2$$ и на $$3$$, значит, $$n$$ делится на $$2$$ и на $$3$$, то есть на $$6$$. Получаем противоречие с несократимостью дроби $$\frac{m}{n}$$.

Следовательно, $$\sqrt[4]{12}$$ — иррациональное число.