Упр.21.22 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Поляков 9 класс, Вентана-Граф: 21.22. Докажите, что является иррациональным число: 1) 2^(1/3); 2) 6^(1/6).

1) Предположим, что число $$2^{1/3}$$ рационально. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби:

$$2^{1/3}=\frac{m}{n}, \quad m\in \mathbb{Z},\ n\in \mathbb{Z},\ n\neq 0.$$

Возведём обе части в куб:

$$2=\frac{m^3}{n^3},$$

откуда

$$2n^3=m^3.$$

Значит, $$m^3$$ делится на $$2$$, следовательно, $$m$$ тоже делится на $$2$$. Пусть $$m=2k$$, где $$k\in \mathbb{Z}$$. Тогда

$$2n^3=(2k)^3=8k^3,$$

$$n^3=4k^3.$$

Отсюда следует, что $$n^3$$ делится на $$2$$, значит, $$n$$ делится на $$2$$. Получаем противоречие с тем, что дробь $$\frac{m}{n}$$ несократима.

Следовательно, число $$2^{1/3}$$ иррационально.

2) Предположим, что число $$6^{1/6}$$ рационально. Тогда

$$6^{1/6}=\frac{m}{n}, \quad m\in \mathbb{Z},\ n\in \mathbb{Z},\ n\neq 0,$$

где дробь $$\frac{m}{n}$$ несократима. Возведём обе части в шестую степень:

$$6=\frac{m^6}{n^6},$$

откуда

$$6n^6=m^6.$$

Значит, $$m^6$$ делится на $$6$$, следовательно, $$m$$ делится на $$6$$. Пусть $$m=6k$$, где $$k\in \mathbb{Z}$$. Тогда

$$6n^6=(6k)^6=6^6k^6,$$

$$n^6=6^5k^6.$$

Отсюда $$n^6$$ делится на $$6$$, значит, $$n$$ делится на $$6$$. Получаем противоречие с несократимостью дроби $$\frac{m}{n}$$.

Следовательно, число $$6^{1/6}$$ иррационально.

Ответ

$$2^{1/3}$$ и $$6^{1/6}$$ — иррациональные числа.