Упр.21.21 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$f(x)$$ на промежутке:
- 1) $$[2; 3]$$; 3) $$[-2; 2]$$; 5) $$[-1; +\infty)$$; 2) $$[-1; 0]$$; 4) $$[-2; 1]$$; 6) $$(-\infty; 2)$$.
Функция $$f(x)=\sqrt[3]{|x|}$$ чётная, так как
$$f(-x)=\sqrt[3]{|-x|}=\sqrt[3]{|x|}=f(x).$$
На промежутке $$[0;+\infty)$$ она возрастает, а на промежутке $$(-\infty;0]$$ убывает. Поэтому на каждом из данных промежутков достаточно сравнить значения функции на концах промежутка.
На промежутке $$[2;3]$$:
$$f(2)=\sqrt[3]{2}, \qquad f(3)=\sqrt[3]{3}.$$
Так как функция возрастает, то
$$\min f(x)=\sqrt[3]{2}, \qquad \max f(x)=\sqrt[3]{3}.$$
На промежутке $$[-1;0]$$:
$$f(-1)=\sqrt[3]{1}=1, \qquad f(0)=0.$$
Так как функция убывает на $$(-\infty;0]$$, то
$$\max f(x)=1, \qquad \min f(x)=0.$$
На промежутке $$[-2;2]$$:
Наибольшее значение достигается в точках $$x=-2$$ и $$x=2$$:
$$f(-2)=f(2)=\sqrt[3]{2}.$$
Наименьшее значение достигается при $$x=0$$:
$$f(0)=0.$$
Значит,
$$\max f(x)=\sqrt[3]{2}, \qquad \min f(x)=0.$$
На промежутке $$[-2;1]$$:
$$f(-2)=\sqrt[3]{2}, \qquad f(0)=0, \qquad f(1)=1.$$
Так как на $$[-2;0]$$ функция убывает, а на $$[0;1]$$ возрастает, то
$$\max f(x)=\sqrt[3]{2}, \qquad \min f(x)=0.$$
На промежутке $$[-1;+\infty)$$:
Наименьшее значение достигается при $$x=0$$:
$$\min f(x)=0.$$
Наибольшего значения функция не имеет, так как при $$x \to +\infty$$ значение $$f(x)$$ неограниченно возрастает.
На промежутке $$(-\infty;2)$$:
Наименьшего значения функция не имеет, так как при $$x \to -\infty$$ значение $$f(x)$$ неограниченно возрастает.
Наибольшее значение достигается при $$x=0$$:
$$\max f(x)=0.$$
Ответ
1) $$\max f(x)=\sqrt[3]{3}, \ \min f(x)=\sqrt[3]{2}$$; 2) $$\max f(x)=1, \ \min f(x)=0$$; 3) $$\max f(x)=\sqrt[3]{2}, \ \min f(x)=0$$; 4) $$\max f(x)=\sqrt[3]{2}, \ \min f(x)=0$$; 5) наибольшего значения нет, $$\min f(x)=0$$; 6) $$\max f(x)=0$$, наименьшего значения нет.
