Упр.21.15 ГДЗ Мерзляк Поляков 9 класс (Алгебра)

1) ((|x|-4)/(x^2-36))^(1/6);
2) (|x|-3)^(1/10)-1/(x+4)^(1/4).

1) Чтобы выражение $$\left(\frac{|x|-4}{x^2-36}\right)^{\frac16}$$ имело смысл, подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель — не равен нулю:

$$\frac{|x|-4}{x^2-36}\ge 0, \qquad x^2-36\ne 0.$$

Разложим знаменатель на множители:

$$x^2-36=(x-6)(x+6).$$

Тогда нужно решить неравенство

$$\frac{|x|-4}{(x-6)(x+6)}\ge 0.$$

Числитель равен нулю при $$|x|-4=0,$$ то есть при $$x=\pm 4.$$

Знаменатель обращается в нуль при $$x=\pm 6,$$ эти значения исключаются.

Проверяя знаки на промежутках, получаем:

$$x\in(-\infty;-6)\cup[-4;4]\cup(6;+\infty).$$

2) Для выражения $$\sqrt[10]{|x|-3}-\frac{1}{\sqrt[4]{x+4}}$$ нужно, чтобы существовали оба слагаемых.

Для первого:

$$|x|-3\ge 0 \quad \Rightarrow \quad |x|\ge 3 \quad \Rightarrow \quad x\le -3 \ \text{или}\ x\ge 3.$$

Для второго:

$$x+4>0 \quad \Rightarrow \quad x>-4,$$

так как подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным.

Пересекаем условия:

$$x\in(-4;-3]\cup[3;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;-6)\cup[-4;4]\cup(6;+\infty).$$

2) $$x\in(-4;-3]\cup[3;+\infty).$$